Основы мат. анализа Примеры

$y = x^{2} - 13$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Этап 1

Заменим все вхождения $y$ на $x^{2} - 13$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} = 25$ на $x^{2} - 13$ .

$x^{2} + {(x^{2} - 13)}^{2} = 25$

$y = x^{2} - 13$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $x^{2} + {(x^{2} - 13)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перепишем ${(x^{2} - 13)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 13) (x^{2} - 13)$ .

$x^{2} + (x^{2} - 13) (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Этап 1.2.1.1.2

Развернем $(x^{2} - 13) (x^{2} - 13)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} - 13) - 13 (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Этап 1.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Этап 1.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Этап 1.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Этап 1.2.1.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Этап 1.2.1.1.3.1.2

Перенесем $- 13$ влево от $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 13 \cdot x^{2} - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Этап 1.2.1.1.3.1.3

Умножим $- 13$ на $- 13$ .

$x^{2} + x^{4} - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Этап 1.2.1.1.3.2

Вычтем $13 x^{2}$ из $- 13 x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $26 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2

Решим относительно $x$ в $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 25 u + 169 = 25$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.2

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 25 u + 169 - 25 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.3

Вычтем $25$ из $169$ .

$u^{2} - 25 u + 144 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.4

Разложим $u^{2} - 25 u + 144$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $144$ , а сумма — $- 25$ .

$- 16, - 9$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 16) (u - 9) = 0$

$y = x^{2} - 13$

$(u - 16) (u - 9) = 0$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 9 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.6

Приравняем $u - 16$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $u - 16$ к $0$ .

$u - 16 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.6.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$u = 16$

$y = x^{2} - 13$

$u = 16$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.7

Приравняем $u - 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $u - 9$ к $0$ .

$u - 9 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.7.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$u = 9$

$y = x^{2} - 13$

$u = 9$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 16) (u - 9) = 0$ верно.

$u = 16, 9$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 16$

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.11.2

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.11.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.11.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.11.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.13.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.13.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = \pm 3$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.13.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.13.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.13.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

Этап 2.14

Решением $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$ является $x = 4, - 4, 3, - 3$ .

$x = 4, - 4, 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4, 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

Этап 3

Заменим все вхождения $x$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 13$ на $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(4)}^{2} - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Этап 3.2.1.2

Вычтем $13$ из $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Этап 4

Заменим все вхождения $x$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 13$ на $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(- 4)}^{2} - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Этап 4.2.1.2

Вычтем $13$ из $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Этап 5

Заменим все вхождения $x$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 13$ на $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(4)}^{2} - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $13$ из $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Этап 6

Заменим все вхождения $x$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 13$ на $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 4)}^{2} - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $13$ из $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Этап 7

Заменим все вхождения $x$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 13$ на $3$ .

$y = {(3)}^{2} - 13$

$x = 3$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(3)}^{2} - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = 3$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $13$ из $9$ .

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

Этап 8

Заменим все вхождения $x$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 13$ на $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим ${(4)}^{2} - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Этап 8.2.1.2

Вычтем $13$ из $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Этап 9

Заменим все вхождения $x$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 13$ на $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим ${(- 4)}^{2} - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Этап 9.2.1.2

Вычтем $13$ из $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Этап 10

Заменим все вхождения $x$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 13$ на $3$ .

$y = {(3)}^{2} - 13$

$x = 3$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим ${(3)}^{2} - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = 3$

Этап 10.2.1.2

Вычтем $13$ из $9$ .

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

Этап 11

Заменим все вхождения $x$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 13$ на $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{2} - 13$

$x = - 3$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим ${(- 3)}^{2} - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = - 3$

Этап 11.2.1.2

Вычтем $13$ из $9$ .

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

Этап 12

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 3)$

$(- 4, 3)$

$(3, - 4)$

$(- 3, - 4)$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(4, 3), (- 4, 3), (3, - 4), (- 3, - 4)$

Форма уравнения:

$x = 4, y = 3$

$x = - 4, y = 3$

$x = 3, y = - 4$

$x = - 3, y = - 4$

Этап 14