Основы мат. анализа Примеры

$y - x = 5$ , $8 x^{2} - 13 x - y = 9$

Этап 1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$y = 5 + x$

$8 x^{2} - 13 x - y = 9$

Этап 2

Заменим все вхождения $y$ на $5 + x$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $y$ в $8 x^{2} - 13 x - y = 9$ на $5 + x$ .

$8 x^{2} - 13 x - (5 + x) = 9$

$y = 5 + x$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $8 x^{2} - 13 x - (5 + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} - 13 x - 1 \cdot 5 - x = 9$

$y = 5 + x$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$8 x^{2} - 13 x - 5 - x = 9$

$y = 5 + x$

$8 x^{2} - 13 x - 5 - x = 9$

$y = 5 + x$

Этап 2.2.1.2

Вычтем $x$ из $- 13 x$ .

$8 x^{2} - 14 x - 5 = 9$

$y = 5 + x$

$8 x^{2} - 14 x - 5 = 9$

$y = 5 + x$

$8 x^{2} - 14 x - 5 = 9$

$y = 5 + x$

$8 x^{2} - 14 x - 5 = 9$

$y = 5 + x$

Этап 3

Решим относительно $x$ в $8 x^{2} - 14 x - 5 = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{2} - 14 x - 5 - 9 = 0$

$y = 5 + x$

Этап 3.2

Вычтем $9$ из $- 5$ .

$8 x^{2} - 14 x - 14 = 0$

$y = 5 + x$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $8 x^{2} - 14 x - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x^{2}$ .

$2 (4 x^{2}) - 14 x - 14 = 0$

$y = 5 + x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 14 x$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- 7 x) - 14 = 0$

$y = 5 + x$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 14$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 7) = 0$

$y = 5 + x$

Этап 3.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$2 (4 x^{2} - 7 x) + 2 (- 7) = 0$

$y = 5 + x$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x^{2} - 7 x) + 2 (- 7)$ .

$2 (4 x^{2} - 7 x - 7) = 0$

$y = 5 + x$

$2 (4 x^{2} - 7 x - 7) = 0$

$y = 5 + x$

Этап 3.4

Разделим каждый член $2 (4 x^{2} - 7 x - 7) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $2 (4 x^{2} - 7 x - 7) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 7 x - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

$y = 5 + x$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 x^{2} - 7 x - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

$y = 5 + x$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $4 x^{2} - 7 x - 7$ на $1$ .

$4 x^{2} - 7 x - 7 = \frac{0}{2}$

$y = 5 + x$

$4 x^{2} - 7 x - 7 = \frac{0}{2}$

$y = 5 + x$

$4 x^{2} - 7 x - 7 = \frac{0}{2}$

$y = 5 + x$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$4 x^{2} - 7 x - 7 = 0$

$y = 5 + x$

$4 x^{2} - 7 x - 7 = 0$

$y = 5 + x$

$4 x^{2} - 7 x - 7 = 0$

$y = 5 + x$

Этап 3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = 5 + x$

Этап 3.6

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 7$ и $c = - 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 7)}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 7$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.7.1.3

Добавим $49$ и $112$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 7$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.8.1.3

Добавим $49$ и $112$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Этап 3.8.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Этап 3.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.9.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 7$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.9.1.3

Добавим $49$ и $112$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Этап 3.9.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Этап 3.9.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Этап 3.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}, \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}, \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Этап 4

Заменим все вхождения $x$ на $\frac{7 + \sqrt{161}}{8}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = 5 + x$ на $\frac{7 + \sqrt{161}}{8}$ .

$y = 5 + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Этап 4.2

Упростим $y = 5 + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Избавимся от скобок.

$y = 5 + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $5 + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y = 5 \cdot \frac{8}{8} + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Этап 4.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Объединим $5$ и $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{5 \cdot 8}{8} + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Этап 4.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 \cdot 8 + 7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{5 \cdot 8 + 7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Этап 4.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Умножим $5$ на $8$ .

$y = \frac{40 + 7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Этап 4.2.2.1.3.2

Добавим $40$ и $7$ .

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Этап 5

Заменим все вхождения $x$ на $\frac{7 - \sqrt{161}}{8}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = 5 + x$ на $\frac{7 - \sqrt{161}}{8}$ .

$y = 5 + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Этап 5.2

Упростим $y = 5 + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Избавимся от скобок.

$y = 5 + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $5 + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y = 5 \cdot \frac{8}{8} + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Этап 5.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Объединим $5$ и $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{5 \cdot 8}{8} + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Этап 5.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 \cdot 8 + 7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{5 \cdot 8 + 7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Умножим $5$ на $8$ .

$y = \frac{40 + 7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Этап 5.2.2.1.3.2

Добавим $40$ и $7$ .

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{7 + \sqrt{161}}{8}, \frac{47 + \sqrt{161}}{8})$

$(\frac{7 - \sqrt{161}}{8}, \frac{47 - \sqrt{161}}{8})$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(\frac{7 + \sqrt{161}}{8}, \frac{47 + \sqrt{161}}{8}), (\frac{7 - \sqrt{161}}{8}, \frac{47 - \sqrt{161}}{8})$

Форма уравнения:

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}, y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}, y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

Этап 8