Основы мат. анализа Примеры

$y = 3 x - 15$ , $x^{2} + y^{2} = 145$

Этап 1

Заменим все вхождения $y$ на $3 x - 15$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} = 145$ на $3 x - 15$ .

$x^{2} + {(3 x - 15)}^{2} = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $x^{2} + {(3 x - 15)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перепишем ${(3 x - 15)}^{2}$ в виде $(3 x - 15) (3 x - 15)$ .

$x^{2} + (3 x - 15) (3 x - 15) = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.1.2

Развернем $(3 x - 15) (3 x - 15)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 3 x (3 x - 15) - 15 (3 x - 15) = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x - 15) = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

$x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

$x^{2} + 3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$x^{2} + 9 x^{2} + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.1.3.1.4

Умножим $- 15$ на $3$ .

$x^{2} + 9 x^{2} - 45 x - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 15$ .

$x^{2} + 9 x^{2} - 45 x - 45 x - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.1.3.1.6

Умножим $- 15$ на $- 15$ .

$x^{2} + 9 x^{2} - 45 x - 45 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$x^{2} + 9 x^{2} - 45 x - 45 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.1.3.2

Вычтем $45 x$ из $- 45 x$ .

$x^{2} + 9 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$x^{2} + 9 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$x^{2} + 9 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 1.2.1.2

Добавим $x^{2}$ и $9 x^{2}$ .

$10 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$10 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$10 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$10 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

Этап 2

Решим относительно $x$ в $10 x^{2} - 90 x + 225 = 145$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $145$ из обеих частей уравнения.

$10 x^{2} - 90 x + 225 - 145 = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.2

Вычтем $145$ из $225$ .

$10 x^{2} - 90 x + 80 = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x^{2} - 90 x + 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x^{2}$ .

$10 (x^{2}) - 90 x + 80 = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель $10$ из $- 90 x$ .

$10 (x^{2}) + 10 (- 9 x) + 80 = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.3.1.3

Вынесем множитель $10$ из $80$ .

$10 x^{2} + 10 (- 9 x) + 10 \cdot 8 = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.3.1.4

Вынесем множитель $10$ из $10 x^{2} + 10 (- 9 x)$ .

$10 (x^{2} - 9 x) + 10 \cdot 8 = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.3.1.5

Вынесем множитель $10$ из $10 (x^{2} - 9 x) + 10 \cdot 8$ .

$10 (x^{2} - 9 x + 8) = 0$

$y = 3 x - 15$

$10 (x^{2} - 9 x + 8) = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разложим $x^{2} - 9 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 9$ .

$- 8, - 1$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$10 ((x - 8) (x - 1)) = 0$

$y = 3 x - 15$

$10 ((x - 8) (x - 1)) = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$10 (x - 8) (x - 1) = 0$

$y = 3 x - 15$

$10 (x - 8) (x - 1) = 0$

$y = 3 x - 15$

$10 (x - 8) (x - 1) = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 1 = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.5

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.5.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

$y = 3 x - 15$

$x = 8$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

$y = 3 x - 15$

$x = 1$

$y = 3 x - 15$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $10 (x - 8) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 8, 1$

$y = 3 x - 15$

$x = 8, 1$

$y = 3 x - 15$

Этап 3

Заменим все вхождения $x$ на $8$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = 3 x - 15$ на $8$ .

$y = 3 (8) - 15$

$x = 8$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $3 (8) - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $3$ на $8$ .

$y = 24 - 15$

$x = 8$

Этап 3.2.1.2

Вычтем $15$ из $24$ .

$y = 9$

$x = 8$

$y = 9$

$x = 8$

$y = 9$

$x = 8$

$y = 9$

$x = 8$

Этап 4

Заменим все вхождения $x$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = 3 x - 15$ на $1$ .

$y = 3 (1) - 15$

$x = 1$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $3 (1) - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$y = 3 - 15$

$x = 1$

Этап 4.2.1.2

Вычтем $15$ из $3$ .

$y = - 12$

$x = 1$

$y = - 12$

$x = 1$

$y = - 12$

$x = 1$

$y = - 12$

$x = 1$

Этап 5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(8, 9)$

$(1, - 12)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(8, 9), (1, - 12)$

Форма уравнения:

$x = 8, y = 9$

$x = 1, y = - 12$

Этап 7