Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ , $x^{2} - y^{2} = - 28$

Этап 1

Решим относительно $x$ в $x^{2} - y^{2} = - 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = - 28 + y^{2}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Этап 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Этап 1.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Этап 1.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Этап 1.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Этап 2

Решим систему $x = \sqrt{- 28 + y^{2}}, x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ на $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ на $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ .

${(\sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим ${(\sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ в виде $- 28 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ в виде ${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 2.1.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 2.1.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 2.1.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 2.1.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$(- 28 + y^{2}) + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$(- 28 + y^{2}) + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 2.1.2.1.1.5

Упростим.

$- 28 + y^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 2.1.2.1.2

Объединим противоположные члены в $- 28 + y^{2} + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y + 0 = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 2.1.2.1.2.2

Добавим $- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y$ и $0$ .

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$y = 8$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $y$ на $8$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$ на $8$ .

$x = \sqrt{- 28 + {(8)}^{2}}$

$y = 8$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $\sqrt{- 28 + {(8)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \sqrt{- 28 + 64}$

$y = 8$

Этап 2.3.2.1.2

Добавим $- 28$ и $64$ .

$x = \sqrt{36}$

$y = 8$

Этап 2.3.2.1.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \sqrt{6^{2}}$

$y = 8$

Этап 2.3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

Этап 3

Решим систему $x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}, x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $x$ на $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ на $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ .

${(- \sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим ${(- \sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.3

Умножим ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ на $1$ .

${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4

Перепишем ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ в виде $- 28 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ в виде ${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$(- 28 + y^{2}) + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$(- 28 + y^{2}) + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4.5

Упростим.

$- 28 + y^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2.1.2

Объединим противоположные члены в $- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y + 0 = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.1.2.1.2.2

Добавим $- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y$ и $0$ .

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$y = - 8$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $y$ на $- 8$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$ на $- 8$ .

$x = - \sqrt{- 28 + {(- 8)}^{2}}$

$y = - 8$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $- \sqrt{- 28 + {(- 8)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = - \sqrt{- 28 + 64}$

$y = - 8$

Этап 3.3.2.1.2

Добавим $- 28$ и $64$ .

$x = - \sqrt{36}$

$y = - 8$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = - \sqrt{6^{2}}$

$y = - 8$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = - 1 \cdot 6$

$y = - 8$

Этап 3.3.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

Этап 4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(6, 8)$

$(- 6, - 8)$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(6, 8), (6, 8), (- 6, - 8), (- 6, - 8)$

Форма уравнения:

$x = 6, y = 8$

$x = - 6, y = - 8$

Этап 6