Основы мат. анализа Примеры

$x + 3 y = 5$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Этап 1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$x = 5 - 3 y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $5 - 3 y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 25$ на $5 - 3 y$ .

${(5 - 3 y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(5 - 3 y)}^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем ${(5 - 3 y)}^{2}$ в виде $(5 - 3 y) (5 - 3 y)$ .

$(5 - 3 y) (5 - 3 y) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем $(5 - 3 y) (5 - 3 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (5 - 3 y) - 3 y (5 - 3 y) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cdot 5 + 5 (- 3 y) - 3 y (5 - 3 y) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cdot 5 + 5 (- 3 y) - 3 y \cdot 5 - 3 y (- 3 y) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

$5 \cdot 5 + 5 (- 3 y) - 3 y \cdot 5 - 3 y (- 3 y) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$25 + 5 (- 3 y) - 3 y \cdot 5 - 3 y (- 3 y) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Умножим $- 3$ на $5$ .

$25 - 15 y - 3 y \cdot 5 - 3 y (- 3 y) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$25 - 15 y - 15 y - 3 y (- 3 y) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$25 - 15 y - 15 y - 3 \cdot (- 3 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

$25 - 15 y - 15 y - 3 \cdot (- 3 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$25 - 15 y - 15 y - 3 \cdot (- 3 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

$25 - 15 y - 15 y - 3 \cdot (- 3 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$25 - 15 y - 15 y + 9 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

$25 - 15 y - 15 y + 9 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.1.3.2

Вычтем $15 y$ из $- 15 y$ .

$25 - 30 y + 9 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

$25 - 30 y + 9 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

$25 - 30 y + 9 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 2.2.1.2

Добавим $9 y^{2}$ и $y^{2}$ .

$25 - 30 y + 10 y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

$25 - 30 y + 10 y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

$25 - 30 y + 10 y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

$25 - 30 y + 10 y^{2} = 25$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $25 - 30 y + 10 y^{2} = 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$25 - 30 y + 10 y^{2} - 25 = 0$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.2

Объединим противоположные члены в $25 - 30 y + 10 y^{2} - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $25$ из $25$ .

$- 30 y + 10 y^{2} + 0 = 0$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.2.2

Добавим $- 30 y + 10 y^{2}$ и $0$ .

$- 30 y + 10 y^{2} = 0$

$x = 5 - 3 y$

$- 30 y + 10 y^{2} = 0$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.3

Вынесем множитель $- 10 y$ из $- 30 y + 10 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Изменим порядок $- 30 y$ и $10 y^{2}$ .

$10 y^{2} - 30 y = 0$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $- 10 y$ из $10 y^{2}$ .

$- 10 y (- y) - 30 y = 0$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $- 10 y$ из $- 30 y$ .

$- 10 y (- y) - 10 y \cdot 3 = 0$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.3.4

Вынесем множитель $- 10 y$ из $- 10 y (- y) - 10 y (3)$ .

$- 10 y (- y + 3) = 0$

$x = 5 - 3 y$

$- 10 y (- y + 3) = 0$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$- y + 3 = 0$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.5

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.6

Приравняем $- y + 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $- y + 3$ к $0$ .

$- y + 3 = 0$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.6.2

Решим $- y + 3 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- y = - 3$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $- y = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $- y = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.6.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 3}{- 1}$

$x = 5 - 3 y$

$y = \frac{- 3}{- 1}$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$y = 3$

$x = 5 - 3 y$

$y = 3$

$x = 5 - 3 y$

$y = 3$

$x = 5 - 3 y$

$y = 3$

$x = 5 - 3 y$

$y = 3$

$x = 5 - 3 y$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 10 y (- y + 3) = 0$ верно.

$y = 0, 3$

$x = 5 - 3 y$

$y = 0, 3$

$x = 5 - 3 y$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 5 - 3 y$ на $0$ .

$x = 5 - 3 \cdot 0$

$y = 0$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $5 - 3 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 3$ на $0$ .

$x = 5 + 0$

$y = 0$

Этап 4.2.1.2

Добавим $5$ и $0$ .

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 5 - 3 y$ на $3$ .

$x = 5 - 3 \cdot 3$

$y = 3$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $5 - 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$x = 5 - 9$

$y = 3$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $9$ из $5$ .

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(5, 0)$

$(- 4, 3)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(5, 0), (- 4, 3)$

Форма уравнения:

$x = 5, y = 0$

$x = - 4, y = 3$

Этап 8