Основы мат. анализа Примеры

$y = \sqrt{144 - x^{2}}$ , $y = 16 - x$

Этап 1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$

Этап 2

Решим $\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{144 - x^{2}}}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{144 - x^{2}}$ в виде ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(144 - x^{2})}^{1} = {(16 - x)}^{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Упростим.

$144 - x^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим ${(16 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перепишем ${(16 - x)}^{2}$ в виде $(16 - x) (16 - x)$ .

$144 - x^{2} = (16 - x) (16 - x)$

Этап 2.2.3.1.2

Развернем $(16 - x) (16 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$144 - x^{2} = 16 (16 - x) - x (16 - x)$

Этап 2.2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)$

Этап 2.2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Этап 2.2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1.1

Умножим $16$ на $16$ .

$144 - x^{2} = 256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Этап 2.2.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)$

Этап 2.2.3.1.3.1.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - x (- x)$

Этап 2.2.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 2.2.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 2.2.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + x^{2}$

Этап 2.2.3.1.3.2

Вычтем $16 x$ из $- 16 x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 32 x + x^{2}$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$256 - 32 x + x^{2} = 144 - x^{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$256 - 32 x + x^{2} + x^{2} = 144$

Этап 2.3.2.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$256 - 32 x + 2 x^{2} = 144$

Этап 2.3.3

Вычтем $144$ из обеих частей уравнения.

$256 - 32 x + 2 x^{2} - 144 = 0$

Этап 2.3.4

Вычтем $144$ из $256$ .

$- 32 x + 2 x^{2} + 112 = 0$

Этап 2.3.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 32 x + 2 x^{2} + 112$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 32 x$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 112 = 0$

Этап 2.3.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x) + 2 (x^{2}) + 112 = 0$

Этап 2.3.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $112$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 56 = 0$

Этап 2.3.5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 16 x) + 2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56 = 0$

Этап 2.3.5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56$ .

$2 (- 16 x + x^{2} + 56) = 0$

Этап 2.3.5.2

Изменим порядок членов.

$2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$

Этап 2.3.6

Разделим каждый член $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Разделим каждый член $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.6.2.1.2

Разделим $x^{2} - 16 x + 56$ на $1$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = 0$

Этап 2.3.7

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 16 - x$

Этап 2.3.8

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 16$ и $c = 56$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 56)}}{2 \cdot 1} + y = 16 - x$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.9.1.2.2

Умножим $- 4$ на $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.9.1.3

Вычтем $224$ из $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.9.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.9.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.9.3

Упростим $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 2.3.10

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.10.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.10.1.2.2

Умножим $- 4$ на $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.10.1.3

Вычтем $224$ из $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.10.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.10.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.10.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.10.3

Упростим $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 2.3.10.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 8 + 2 \sqrt{2}$

Этап 2.3.11

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.11.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.11.1.2.2

Умножим $- 4$ на $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.11.1.3

Вычтем $224$ из $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.11.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.11.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.11.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.11.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.11.3

Упростим $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 2.3.11.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 8 - 2 \sqrt{2}$

Этап 2.3.12

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}$

Этап 3

Вычислим $y$ , когда $x = 8 + 2 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $8 + 2 \sqrt{2}$ вместо $x$ .

$y = 16 - (8 + 2 \sqrt{2})$

Этап 3.2

Упростим $16 - (8 + 2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (2 \sqrt{2})$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$y = 16 - 8 - (2 \sqrt{2})$

Этап 3.2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = 16 - 8 - 2 \sqrt{2}$

Этап 3.2.2

Вычтем $8$ из $16$ .

$y = 8 - 2 \sqrt{2}$

Этап 4

Вычислим $y$ , когда $x = 8 - 2 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $8 - 2 \sqrt{2}$ вместо $x$ .

$y = 16 - (8 - 2 \sqrt{2})$

Этап 4.2

Упростим $16 - (8 - 2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$y = 16 - 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = 16 - 8 + 2 \sqrt{2}$

Этап 4.2.2

Вычтем $8$ из $16$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Этап 5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2})$

$(8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}), (8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Форма уравнения:

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, y = 8 - 2 \sqrt{2}$

$x = 8 - 2 \sqrt{2}, y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Этап 7