Основы мат. анализа Примеры

$y = 20 x - 16$ , $y = 12 x^{2} + 3 x - 10$

Этап 1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$20 x - 16 = 12 x^{2} + 3 x - 10$

Этап 2

Решим $20 x - 16 = 12 x^{2} + 3 x - 10$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$12 x^{2} + 3 x - 10 = 20 x - 16$

Этап 2.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $20 x$ из обеих частей уравнения.

$12 x^{2} + 3 x - 10 - 20 x = - 16$

Этап 2.2.2

Вычтем $20 x$ из $3 x$ .

$12 x^{2} - 17 x - 10 = - 16$

Этап 2.3

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$12 x^{2} - 17 x - 10 + 16 = 0$

Этап 2.4

Добавим $- 10$ и $16$ .

$12 x^{2} - 17 x + 6 = 0$

Этап 2.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 12 \cdot 6 = 72$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 x$ .

$12 x^{2} - 17 x + 6 = 0$

Этап 2.5.1.2

Запишем $- 17$ как $- 8$ плюс $- 9$

$12 x^{2} + (- 8 - 9) x + 6 = 0$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x^{2} - 8 x - 9 x + 6 = 0$

Этап 2.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(12 x^{2} - 8 x) - 9 x + 6 = 0$

Этап 2.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) = 0$

Этап 2.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (4 x - 3) = 0$

Этап 2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$4 x - 3 = 0 + y = 12 x^{2} + 3 x - 10$

Этап 2.7

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 2.7.2

Решим $3 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 2.7.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 2.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 2.8

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 2.8.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 2.8.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 2.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 2.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 2) (4 x - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$

Этап 3

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{2}{3}$ вместо $x$ .

$y = 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Этап 3.2

Упростим $12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$y = 12 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Этап 3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 12 \frac{4}{3^{2}} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Этап 3.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = 12 (\frac{4}{9}) + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y = 3 (4) \frac{4}{9} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y = 3 \cdot 4 \frac{4}{3 \cdot 3} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = 3 \cdot 4 \frac{4}{3 \cdot 3} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = 4 (\frac{4}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Этап 3.2.1.5

Объединим $4$ и $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4 \cdot 4}{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Этап 3.2.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{16}{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Этап 3.2.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{16}{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Этап 3.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{16}{3} + 2 - 10$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2}{1} - 10$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3} - 10$

Этап 3.2.2.3

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 10$

Этап 3.2.2.4

Запишем $- 10$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 10}{1}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{- 10}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.2.2.6

Умножим $\frac{- 10}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{16 + 2 \cdot 3 - 10 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{16 + 6 - 10 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $- 10$ на $3$ .

$y = \frac{16 + 6 - 30}{3}$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Добавим $16$ и $6$ .

$y = \frac{22 - 30}{3}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $30$ из $22$ .

$y = \frac{- 8}{3}$

Этап 3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{8}{3}$

Этап 4

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{3}{4}$ вместо $x$ .

$y = 12 {(\frac{3}{4})}^{2} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Этап 4.2

Упростим $12 {(\frac{3}{4})}^{2} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$y = 12 \frac{3^{2}}{4^{2}} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Этап 4.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = 12 \frac{9}{4^{2}} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Этап 4.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = 12 (\frac{9}{16}) + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Этап 4.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = 4 (3) \frac{9}{16} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Этап 4.2.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y = 4 \cdot 3 \frac{9}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Этап 4.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = 4 \cdot 3 \frac{9}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Этап 4.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = 3 (\frac{9}{4}) + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Этап 4.2.1.5

Объединим $3$ и $\frac{9}{4}$ .

$y = \frac{3 \cdot 9}{4} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Этап 4.2.1.6

Умножим $3$ на $9$ .

$y = \frac{27}{4} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Этап 4.2.1.7

Умножим $3 (\frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{4}$ .

$y = \frac{27}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4} - 10$

Этап 4.2.1.7.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \frac{27}{4} + \frac{9}{4} - 10$

Этап 4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - 10 + \frac{27 + 9}{4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $27$ и $9$ .

$y = - 10 + \frac{36}{4}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $36$ на $4$ .

$y = - 10 + 9$

Этап 4.2.2.2.3

Добавим $- 10$ и $9$ .

$y = - 1$

Этап 5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{2}{3}, - \frac{8}{3})$

$(\frac{3}{4}, - 1)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(\frac{2}{3}, - \frac{8}{3}), (\frac{3}{4}, - 1)$

Форма уравнения:

$x = \frac{2}{3}, y = - \frac{8}{3}$

$x = \frac{3}{4}, y = - 1$

Этап 7