Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ , $y^{2} - x^{2} - 9 = 0$

Этап 1

Решим относительно $y$ в $y^{2} - x^{2} - 9 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 9 = x^{2}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Этап 1.1.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = x^{2} + 9$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

$y^{2} = x^{2} + 9$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Этап 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Этап 1.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Этап 1.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Этап 1.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Этап 2

Решим систему $y = \sqrt{x^{2} + 9}, x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $y$ на $\sqrt{x^{2} + 9}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ на $\sqrt{x^{2} + 9}$ .

$x^{2} + {(\sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим $x^{2} + {(\sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{x^{2} + 9}}^{2}$ в виде $x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 9}$ в виде ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 2.1.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 2.1.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 2.1.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 2.1.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 2.1.2.1.1.5

Упростим.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 2.1.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 2.1.2.1.2.2

Добавим $9$ и $39$ .

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = - 4, 0, 4$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $x$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ на $- 4$ .

$y = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$

$x = - 4$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $\sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

$x = - 4$

Этап 2.3.2.1.2

Добавим $16$ и $9$ .

$y = \sqrt{25}$

$x = - 4$

Этап 2.3.2.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

$x = - 4$

Этап 2.3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ на $0$ .

$y = \sqrt{{(0)}^{2} + 9}$

$x = 0$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\sqrt{{(0)}^{2} + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = \sqrt{0 + 9}$

$x = 0$

Этап 2.4.2.1.2

Добавим $0$ и $9$ .

$y = \sqrt{9}$

$x = 0$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

$x = 0$

Этап 2.4.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

Этап 2.5

Заменим все вхождения $x$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ на $- 4$ .

$y = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$

$x = - 4$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $\sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

$x = - 4$

Этап 2.5.2.1.2

Добавим $16$ и $9$ .

$y = \sqrt{25}$

$x = - 4$

Этап 2.5.2.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

$x = - 4$

Этап 2.5.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

Этап 2.6

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ на $0$ .

$y = \sqrt{{(0)}^{2} + 9}$

$x = 0$

Этап 2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим $\sqrt{{(0)}^{2} + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = \sqrt{0 + 9}$

$x = 0$

Этап 2.6.2.1.2

Добавим $0$ и $9$ .

$y = \sqrt{9}$

$x = 0$

Этап 2.6.2.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

$x = 0$

Этап 2.6.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

Этап 2.7

Заменим все вхождения $x$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ на $4$ .

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

$x = 4$

Этап 2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Упростим $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

$x = 4$

Этап 2.7.2.1.2

Добавим $16$ и $9$ .

$y = \sqrt{25}$

$x = 4$

Этап 2.7.2.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

$x = 4$

Этап 2.7.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

Этап 3

Решим систему $y = - \sqrt{x^{2} + 9}, x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $y$ на $- \sqrt{x^{2} + 9}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ на $- \sqrt{x^{2} + 9}$ .

$x^{2} + {(- \sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим $x^{2} + {(- \sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{x^{2} + 9}$ .

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{x^{2} + 9}}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{2} + 1 {\sqrt{x^{2} + 9}}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2.1.1.3

Умножим ${\sqrt{x^{2} + 9}}^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{x^{2} + 9}}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2.1.1.4

Перепишем ${\sqrt{x^{2} + 9}}^{2}$ в виде $x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 9}$ в виде ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2.1.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2.1.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2.1.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2.1.1.4.5

Упростим.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2.1.1.5

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$x^{2} + x^{2} + 9 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 9 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.1.2.1.2.2

Добавим $9$ и $39$ .

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 3.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

Нет решения

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Нет решения

Этап 4