Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{2} + y^{2} = 33$ , $x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Этап 1

Решим относительно $y$ в $2 x^{2} + y^{2} = 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = 33 - 2 x^{2}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Этап 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Этап 1.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Этап 1.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Этап 1.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Этап 2

Решим систему $y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}, x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $y$ на $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ на $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ .

$x^{2} + {(\sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим $x^{2} + {(\sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2}$ в виде $33 - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ в виде ${(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 2.1.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 2.1.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 2.1.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 2.1.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 2.1.2.1.1.5

Упростим.

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 2.1.2.1.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = 4$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $x$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ на $4$ .

$y = \sqrt{33 - 2 {(4)}^{2}}$

$x = 4$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $\sqrt{33 - 2 {(4)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \sqrt{33 - 2 \cdot 16}$

$x = 4$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим $- 2$ на $16$ .

$y = \sqrt{33 - 32}$

$x = 4$

Этап 2.3.2.1.3

Вычтем $32$ из $33$ .

$y = \sqrt{1}$

$x = 4$

Этап 2.3.2.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

Этап 3

Решим систему $y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}, x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $y$ на $- \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ на $- \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ .

$x^{2} + {(- \sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим $x^{2} + {(- \sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ .

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{2} + 1 {\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.3

Умножим ${\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4

Перепишем ${\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2}$ в виде $33 - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ в виде ${(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.4.5

Упростим.

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.1.2.1.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.1.2.1.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = - 2, 2$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $x$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ на $- 2$ .

$y = - \sqrt{33 - 2 {(- 2)}^{2}}$

$x = - 2$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $- \sqrt{33 - 2 {(- 2)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1.1

Возведем $- 2$ в степень $1$ .

$y = - \sqrt{33 + (- 2) {(- 2)}^{2}}$

$x = - 2$

Этап 3.3.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{1 + 2}}$

$x = - 2$

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{1 + 2}}$

$x = - 2$

Этап 3.3.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{3}}$

$x = - 2$

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{3}}$

$x = - 2$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$y = - \sqrt{33 - 8}$

$x = - 2$

Этап 3.3.2.1.3

Вычтем $8$ из $33$ .

$y = - \sqrt{25}$

$x = - 2$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = - \sqrt{5^{2}}$

$x = - 2$

Этап 3.3.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = - 1 \cdot 5$

$x = - 2$

Этап 3.3.2.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = - 5$

$x = - 2$

$y = - 5$

$x = - 2$

$y = - 5$

$x = - 2$

$y = - 5$

$x = - 2$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $x$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ на $2$ .

$y = - \sqrt{33 - 2 {(2)}^{2}}$

$x = 2$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- \sqrt{33 - 2 {(2)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = - \sqrt{33 - 2 \cdot 4}$

$x = 2$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$y = - \sqrt{33 - 8}$

$x = 2$

Этап 3.4.2.1.3

Вычтем $8$ из $33$ .

$y = - \sqrt{25}$

$x = 2$

Этап 3.4.2.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = - \sqrt{5^{2}}$

$x = 2$

Этап 3.4.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = - 1 \cdot 5$

$x = 2$

Этап 3.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

Этап 4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 1)$

$(- 2, - 5)$

$(2, - 5)$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(4, 1), (4, 1), (- 2, - 5), (2, - 5)$

Форма уравнения:

$x = 4, y = 1$

$x = - 2, y = - 5$

$x = 2, y = - 5$

Этап 6