Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$ , $x^{2} - 8 y^{2} + 5 = 0$

Этап 1

Решим относительно $x$ в $x^{2} - 8 y^{2} + 5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $8 y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 5 = 8 y^{2}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Этап 1.1.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = 8 y^{2} - 5$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x^{2} = 8 y^{2} - 5$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Этап 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Этап 1.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Этап 1.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Этап 1.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Этап 2

Решим систему $x = \sqrt{8 y^{2} - 5}, 2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ на $\sqrt{8 y^{2} - 5}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим все вхождения $x$ в $2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$ на $\sqrt{8 y^{2} - 5}$ .

$2 {(\sqrt{8 y^{2} - 5})}^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим $2 {(\sqrt{8 y^{2} - 5})}^{2} - 7 y^{2} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Перепишем ${\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2}$ в виде $8 y^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 y^{2} - 5}$ в виде ${(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2.1.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2.1.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2.1.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2.1.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2.1.1.1.5

Упростим.

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (8 y^{2}) + 2 \cdot - 5 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2.1.1.3

Умножим $8$ на $2$ .

$16 y^{2} + 2 \cdot - 5 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2.1.1.4

Умножим $2$ на $- 5$ .

$16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1.1

Добавим $- 10$ и $10$ .

$16 y^{2} - 7 y^{2} + 0 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2.1.2.1.2

Добавим $16 y^{2} - 7 y^{2}$ и $0$ .

$16 y^{2} - 7 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$16 y^{2} - 7 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.1.2.1.2.2

Вычтем $7 y^{2}$ из $16 y^{2}$ .

$9 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.2

Решим относительно $y$ в $9 y^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $9 y^{2} = 0$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разделим каждый член $9 y^{2} = 0$ на $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.2.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Разделим $0$ на $9$ .

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.2.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$y = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $y$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$ на $0$ .

$x = \sqrt{8 {(0)}^{2} - 5}$

$y = 0$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $\sqrt{8 {(0)}^{2} - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = \sqrt{8 \cdot 0 - 5}$

$y = 0$

Этап 2.3.2.1.1.2

Умножим $8$ на $0$ .

$x = \sqrt{0 - 5}$

$y = 0$

Этап 2.3.2.1.1.3

Вычтем $5$ из $0$ .

$x = \sqrt{- 5}$

$y = 0$

$x = \sqrt{- 5}$

$y = 0$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \sqrt{- 1 \cdot 5}$

$y = 0$

Этап 2.3.2.1.3

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

$y = 0$

Этап 2.3.2.1.4

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = i \sqrt{5}$

$y = 0$

Этап 3

Решим систему $x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}, 2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $x$ на $- \sqrt{8 y^{2} - 5}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим все вхождения $x$ в $2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$ на $- \sqrt{8 y^{2} - 5}$ .

$2 {(- \sqrt{8 y^{2} - 5})}^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим $2 {(- \sqrt{8 y^{2} - 5})}^{2} - 7 y^{2} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{8 y^{2} - 5}$ .

$2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2}) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 (1 {\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2}) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.1.3

Умножим ${\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2}$ на $1$ .

$2 {\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.1.4

Перепишем ${\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2}$ в виде $8 y^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 y^{2} - 5}$ в виде ${(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.1.4.5

Упростим.

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (8 y^{2}) + 2 \cdot - 5 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.1.6

Умножим $8$ на $2$ .

$16 y^{2} + 2 \cdot - 5 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.1.7

Умножим $2$ на $- 5$ .

$16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1.1

Добавим $- 10$ и $10$ .

$16 y^{2} - 7 y^{2} + 0 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.2.1.2

Добавим $16 y^{2} - 7 y^{2}$ и $0$ .

$16 y^{2} - 7 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$16 y^{2} - 7 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.1.2.1.2.2

Вычтем $7 y^{2}$ из $16 y^{2}$ .

$9 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.2

Решим относительно $y$ в $9 y^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $9 y^{2} = 0$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Разделим каждый член $9 y^{2} = 0$ на $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.2.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $9$ .

$y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.2.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$y = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $y$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$ на $0$ .

$x = - \sqrt{8 {(0)}^{2} - 5}$

$y = 0$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $- \sqrt{8 {(0)}^{2} - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = - \sqrt{8 \cdot 0 - 5}$

$y = 0$

Этап 3.3.2.1.1.2

Умножим $8$ на $0$ .

$x = - \sqrt{0 - 5}$

$y = 0$

Этап 3.3.2.1.1.3

Вычтем $5$ из $0$ .

$x = - \sqrt{- 5}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{- 5}$

$y = 0$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = - \sqrt{- 1 \cdot 5}$

$y = 0$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = - (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5})$

$y = 0$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = - i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = - i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = - i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = - i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = - i \sqrt{5}$

$y = 0$

Этап 4

Перечислим все решения.

$x = i \sqrt{5}, y = 0$

$x = - i \sqrt{5}, y = 0$

Этап 5