Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} = 2$ , $x y = 1$

Этап 1

Разделим каждый член $x y = 1$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x y = 1$ на $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

Этап 1.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $\frac{1}{y}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 2$ на $\frac{1}{y}$ .

${(\frac{1}{y})}^{2} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 2.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$ умножим на $y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$ на $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 + y^{2} y^{2} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$1 + y^{2} y^{2} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + y^{2 + 2} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.2.2.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$1 + y^{4} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$1 + y^{4} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$1 + y^{4} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$1 + y^{4} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$1 + y^{4} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $2 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$1 + y^{4} - 2 y^{2} = 0$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.2

Подставим $u = y^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.3.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

$x = \frac{1}{y}$

${(u - 1)}^{2} = 0$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.4

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.6

Подставим вещественное значение $u = y^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$y^{2} = 1$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.7

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{1}$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.7.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \pm 1$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 1$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.7.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 1$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 3.3.7.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 1, - 1$

$x = \frac{1}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{1}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{1}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{1}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{1}{y}$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{1}{y}$ на $1$ .

$x = \frac{1}{1}$

$y = 1$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим $1$ на $1$ .

$x = 1$

$y = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$x = 1$

$y = 1$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{1}{y}$ на $- 1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

$y = - 1$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(1, 1), (- 1, - 1)$

Форма уравнения:

$x = 1, y = 1$

$x = - 1, y = - 1$

Этап 8