Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} = 13$ , $x^{2} - y = 7$

Этап 1

Решим относительно $y$ в $x^{2} - y = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y = 7 - x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Этап 1.2

Разделим каждый член $- y = 7 - x^{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $- y = 7 - x^{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Этап 1.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Разделим $7$ на $- 1$ .

$y = - 7 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Этап 1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - 7 + \frac{x^{2}}{1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Этап 1.2.3.1.3

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Этап 2

Заменим все вхождения $y$ на $- 7 + x^{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} = 13$ на $- 7 + x^{2}$ .

$x^{2} + {(- 7 + x^{2})}^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $x^{2} + {(- 7 + x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем ${(- 7 + x^{2})}^{2}$ в виде $(- 7 + x^{2}) (- 7 + x^{2})$ .

$x^{2} + (- 7 + x^{2}) (- 7 + x^{2}) = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем $(- 7 + x^{2}) (- 7 + x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 7 (- 7 + x^{2}) + x^{2} (- 7 + x^{2}) = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 7 \cdot - 7 - 7 x^{2} + x^{2} (- 7 + x^{2}) = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 7 \cdot - 7 - 7 x^{2} + x^{2} \cdot - 7 + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} - 7 \cdot - 7 - 7 x^{2} + x^{2} \cdot - 7 + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} + x^{2} \cdot - 7 + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Перенесем $- 7$ влево от $x^{2}$ .

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 \cdot x^{2} + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{2 + 2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.1.3.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.2

Вычтем $7 x^{2}$ из $- 7 x^{2}$ .

$x^{2} + 49 - 14 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 14 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 14 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 2.2.1.2

Вычтем $14 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ в $- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 13 u + 49 = 13$

$u = x^{2}$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.2

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 13 u + 49 - 13 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.3

Вычтем $13$ из $49$ .

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.4

Разложим $u^{2} - 13 u + 36$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $36$ , а сумма — $- 13$ .

$- 9, - 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

$(u - 9) (u - 4) = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.6

Приравняем $u - 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $u - 9$ к $0$ .

$u - 9 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.6.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$u = 9$

$y = - 7 + x^{2}$

$u = 9$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.7

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

$u = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 9) (u - 4) = 0$ верно.

$u = 9, 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 9$

$x^{2} = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 9$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.11.2

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.11.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = \pm 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.11.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.11.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 3, - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 3, - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.13.3

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.13.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = \pm 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.13.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.13.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.13.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 3.14

Решением $x^{4} - 13 x^{2} + 49 = 13$ является $x = 3, - 3, 2, - 2$ .

$x = 3, - 3, 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 3, - 3, 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Этап 4

Заменим все вхождения $x$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - 7 + x^{2}$ на $3$ .

$y = - 7 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $- 7 + {(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = 3$

Этап 4.2.1.2

Добавим $- 7$ и $9$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Этап 5

Заменим все вхождения $x$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - 7 + x^{2}$ на $- 3$ .

$y = - 7 + {(- 3)}^{2}$

$x = - 3$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- 7 + {(- 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = - 3$

Этап 5.2.1.2

Добавим $- 7$ и $9$ .

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

Этап 6

Заменим все вхождения $x$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - 7 + x^{2}$ на $3$ .

$y = - 7 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим $- 7 + {(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = 3$

Этап 6.2.1.2

Добавим $- 7$ и $9$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Этап 7

Заменим все вхождения $x$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - 7 + x^{2}$ на $- 3$ .

$y = - 7 + {(- 3)}^{2}$

$x = - 3$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим $- 7 + {(- 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = - 3$

Этап 7.2.1.2

Добавим $- 7$ и $9$ .

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

Этап 8

Заменим все вхождения $x$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - 7 + x^{2}$ на $2$ .

$y = - 7 + {(2)}^{2}$

$x = 2$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $- 7 + {(2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = - 7 + 4$

$x = 2$

Этап 8.2.1.2

Добавим $- 7$ и $4$ .

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

Этап 9

Заменим все вхождения $x$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - 7 + x^{2}$ на $3$ .

$y = - 7 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим $- 7 + {(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = 3$

Этап 9.2.1.2

Добавим $- 7$ и $9$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Этап 10

Заменим все вхождения $x$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - 7 + x^{2}$ на $- 3$ .

$y = - 7 + {(- 3)}^{2}$

$x = - 3$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим $- 7 + {(- 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = - 3$

Этап 10.2.1.2

Добавим $- 7$ и $9$ .

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

Этап 11

Заменим все вхождения $x$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - 7 + x^{2}$ на $2$ .

$y = - 7 + {(2)}^{2}$

$x = 2$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим $- 7 + {(2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = - 7 + 4$

$x = 2$

Этап 11.2.1.2

Добавим $- 7$ и $4$ .

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

Этап 12

Заменим все вхождения $x$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - 7 + x^{2}$ на $- 2$ .

$y = - 7 + {(- 2)}^{2}$

$x = - 2$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим $- 7 + {(- 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = - 7 + 4$

$x = - 2$

Этап 12.2.1.2

Добавим $- 7$ и $4$ .

$y = - 3$

$x = - 2$

$y = - 3$

$x = - 2$

$y = - 3$

$x = - 2$

$y = - 3$

$x = - 2$

Этап 13

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(3, 2)$

$(- 3, 2)$

$(2, - 3)$

$(- 2, - 3)$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(3, 2), (- 3, 2), (2, - 3), (- 2, - 3)$

Форма уравнения:

$x = 3, y = 2$

$x = - 3, y = 2$

$x = 2, y = - 3$

$x = - 2, y = - 3$

Этап 15