Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} = 9$ , $y = x^{2} - 3$

Этап 1

Заменим все вхождения $y$ на $x^{2} - 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} = 9$ на $x^{2} - 3$ .

$x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2} = 9$

$y = x^{2} - 3$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перепишем ${(x^{2} - 3)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ .

$x^{2} + (x^{2} - 3) (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Этап 1.2.1.1.2

Развернем $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} - 3) - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Этап 1.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Этап 1.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Этап 1.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Этап 1.2.1.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Этап 1.2.1.1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 3 \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Этап 1.2.1.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Этап 1.2.1.1.3.2

Вычтем $3 x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $6 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2

Решим относительно $x$ в $x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 5 u + 9 = 9$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 5 u + 9 - 9 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.3

Объединим противоположные члены в $u^{2} - 5 u + 9 - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$u^{2} - 5 u + 0 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.3.2

Добавим $u^{2} - 5 u$ и $0$ .

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.4

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - 5 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $u$ из $- 5 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 5$ .

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.6

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.7

Приравняем $u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $u - 5$ к $0$ .

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (u - 5) = 0$ верно.

$u = 0, 5$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.11.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.11.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.11.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.13.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.13.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.13.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Этап 2.14

Решением $x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ является $x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Этап 3

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 3$ на $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(0)}^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 3$

$x = 0$

Этап 3.2.1.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $x$ на $\sqrt{5}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 3$ на $\sqrt{5}$ .

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 4.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 4.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 4.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 4.2.1.1.5

Найдем экспоненту.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 4.2.1.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

Этап 5

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 3$ на $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(0)}^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 3$

$x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

Этап 6

Заменим все вхождения $x$ на $\sqrt{5}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 3$ на $\sqrt{5}$ .

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 6.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 6.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 6.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 6.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 6.2.1.1.5

Найдем экспоненту.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

Этап 7

Заменим все вхождения $x$ на $- \sqrt{5}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 3$ на $- \sqrt{5}$ .

$y = {(- \sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(- \sqrt{5})}^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{5}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Этап 7.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 1 {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Этап 7.2.1.1.3

Умножим ${\sqrt{5}}^{2}$ на $1$ .

$y = {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Этап 7.2.1.1.4

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Этап 7.2.1.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Этап 7.2.1.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Этап 7.2.1.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Этап 7.2.1.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Этап 7.2.1.1.4.5

Найдем экспоненту.

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

Этап 8

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, - 3)$

$(\sqrt{5}, 2)$

$(- \sqrt{5}, 2)$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(0, - 3), (\sqrt{5}, 2), (- \sqrt{5}, 2)$

Форма уравнения:

$x = 0, y = - 3$

$x = \sqrt{5}, y = 2$

$x = - \sqrt{5}, y = 2$

Этап 10