Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} = 8$ , $x y = 4$

Этап 1

Разделим каждый член $x y = 4$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x y = 4$ на $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{y} = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Этап 1.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $\frac{4}{y}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 8$ на $\frac{4}{y}$ .

${(\frac{4}{y})}^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{4}{y}$ .

$\frac{4^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ умножим на $y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ на $y^{2}$ .

$\frac{16}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$16 + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 + y^{2 + 2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.2.2.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $8 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$16 + y^{4} - 8 y^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.2

Подставим $u = y^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.3.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

${(u - 4)}^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.4

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.5

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.6

Подставим вещественное значение $u = y^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$y^{2} = 4$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.7

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4}$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.7.2

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.7.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = \pm 2$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 2$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.7.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 2$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 3.3.7.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{4}{y}$ на $2$ .

$x = \frac{4}{2}$

$y = 2$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим $4$ на $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{4}{y}$ на $- 2$ .

$x = \frac{4}{- 2}$

$y = - 2$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим $4$ на $- 2$ .

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, 2)$

$(- 2, - 2)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(2, 2), (- 2, - 2)$

Форма уравнения:

$x = 2, y = 2$

$x = - 2, y = - 2$

Этап 8