Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} = 68$ , $x - y = 6$

Этап 1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x = 6 + y$

$x^{2} + y^{2} = 68$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $6 + y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 68$ на $6 + y$ .

${(6 + y)}^{2} + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(6 + y)}^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем ${(6 + y)}^{2}$ в виде $(6 + y) (6 + y)$ .

$(6 + y) (6 + y) + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем $(6 + y) (6 + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (6 + y) + y (6 + y) + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \cdot 6 + 6 y + y (6 + y) + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \cdot 6 + 6 y + y \cdot 6 + y \cdot y + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

$6 \cdot 6 + 6 y + y \cdot 6 + y \cdot y + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$36 + 6 y + y \cdot 6 + y \cdot y + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $y$ .

$36 + 6 y + 6 \cdot y + y \cdot y + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим $y$ на $y$ .

$36 + 6 y + 6 y + y^{2} + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

$36 + 6 y + 6 y + y^{2} + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

Этап 2.2.1.1.3.2

Добавим $6 y$ и $6 y$ .

$36 + 12 y + y^{2} + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

$36 + 12 y + y^{2} + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

$36 + 12 y + y^{2} + y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

Этап 2.2.1.2

Добавим $y^{2}$ и $y^{2}$ .

$36 + 12 y + 2 y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

$36 + 12 y + 2 y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

$36 + 12 y + 2 y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

$36 + 12 y + 2 y^{2} = 68$

$x = 6 + y$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $36 + 12 y + 2 y^{2} = 68$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $68$ из обеих частей уравнения.

$36 + 12 y + 2 y^{2} - 68 = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.2

Вычтем $68$ из $36$ .

$12 y + 2 y^{2} - 32 = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $12 y + 2 y^{2} - 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12 y$ .

$2 (6 y) + 2 y^{2} - 32 = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{2}$ .

$2 (6 y) + 2 (y^{2}) - 32 = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 32$ .

$2 (6 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 16 = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 y) + 2 y^{2}$ .

$2 (6 y + y^{2}) + 2 \cdot - 16 = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 y + y^{2}) + 2 \cdot - 16$ .

$2 (6 y + y^{2} - 16) = 0$

$x = 6 + y$

$2 (6 y + y^{2} - 16) = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.3.2

Пусть $u = y$ . Подставим $u$ вместо $y$ для всех.

$2 (6 u + u^{2} - 16) = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.3.3

Разложим $6 u + u^{2} - 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 16$ , а сумма — $6$ .

$- 2, 8$

$x = 6 + y$

Этап 3.3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((u - 2) (u + 8)) = 0$

$x = 6 + y$

$2 ((u - 2) (u + 8)) = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 ((y - 2) (y + 8)) = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (y - 2) (y + 8) = 0$

$x = 6 + y$

$2 (y - 2) (y + 8) = 0$

$x = 6 + y$

$2 (y - 2) (y + 8) = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 8 = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.5

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

$x = 6 + y$

$y = 2$

$x = 6 + y$

Этап 3.6

Приравняем $y + 8$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $y + 8$ к $0$ .

$y + 8 = 0$

$x = 6 + y$

Этап 3.6.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$y = - 8$

$x = 6 + y$

$y = - 8$

$x = 6 + y$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (y - 2) (y + 8) = 0$ верно.

$y = 2, - 8$

$x = 6 + y$

$y = 2, - 8$

$x = 6 + y$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 6 + y$ на $2$ .

$x = 6 + 2$

$y = 2$

Этап 4.2

Упростим $x = 6 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 6 + 2$

$y = 2$

$x = 6 + 2$

$y = 2$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $6$ и $2$ .

$x = 8$

$y = 2$

$x = 8$

$y = 2$

$x = 8$

$y = 2$

$x = 8$

$y = 2$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $- 8$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 6 + y$ на $- 8$ .

$x = 6 - 8$

$y = - 8$

Этап 5.2

Упростим $x = 6 - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 6 - 8$

$y = - 8$

$x = 6 - 8$

$y = - 8$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $8$ из $6$ .

$x = - 2$

$y = - 8$

$x = - 2$

$y = - 8$

$x = - 2$

$y = - 8$

$x = - 2$

$y = - 8$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(8, 2)$

$(- 2, - 8)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(8, 2), (- 2, - 8)$

Форма уравнения:

$x = 8, y = 2$

$x = - 2, y = - 8$

Этап 8