Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} y = 9$ , $x^{2} + 4 y + 12 = 0$

Этап 1

Разделим каждый член $x^{2} y = 9$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{2} y = 9$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

Этап 1.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

Этап 2

Заменим все вхождения $y$ на $\frac{9}{x^{2}}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + 4 y + 12 = 0$ на $\frac{9}{x^{2}}$ .

$x^{2} + 4 (\frac{9}{x^{2}}) + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $4 (\frac{9}{x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Объединим $4$ и $\frac{9}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{4 \cdot 9}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3

Решим относительно $x$ в $x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{2}, 1, 1$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.2

Каждый член в $x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ на $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} + 12 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$u^{2} + 12 u + 6^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$12 u = 2 \cdot u \cdot 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 6 + 6^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 6$ .

${(u + 6)}^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

${(u + 6)}^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.3

Приравняем $u + 6$ к $0$ .

$u + 6 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.4

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$u = - 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.5

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = - 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.6

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Упростим $\pm \sqrt{- 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 \cdot 6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.6.2.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (6)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.6.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = \pm i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.6.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3.3.6.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 4

Заменим все вхождения $x$ на $i \sqrt{6}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = \frac{9}{x^{2}}$ на $i \sqrt{6}$ .

$y = \frac{9}{{(i \sqrt{6})}^{2}}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\frac{9}{{(i \sqrt{6})}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $i \sqrt{6}$ .

$y = \frac{9}{i^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$y = \frac{9}{- 1 {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.1.3

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{9}{- 1 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.1.3.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$y = \frac{9}{- 6}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.2.2

Сократим общий множитель $9$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y = \frac{3 (3)}{- 6}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$y = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 2}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 2}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 4.2.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = i \sqrt{6}$

Этап 5

Заменим все вхождения $x$ на $- i \sqrt{6}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = \frac{9}{x^{2}}$ на $- i \sqrt{6}$ .

$y = \frac{9}{{(- i \sqrt{6})}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $\frac{9}{{(- i \sqrt{6})}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- i \sqrt{6}$ .

$y = \frac{9}{{(- i)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- i$ .

$y = \frac{9}{{(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{9}{1 i^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.1.4

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{9}{i^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$y = \frac{9}{- 1 {\sqrt{6}}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.1.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{9}{- 1 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.1.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{- 1 \cdot 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$y = \frac{9}{- 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.2.2

Сократим общий множитель $9$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y = \frac{3 (3)}{- 6}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$y = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 2}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 2}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{3}{- 2}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 5.2.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 6

Перечислим все решения.

$y = - \frac{3}{2}, x = i \sqrt{6}$

$y = - \frac{3}{2}, x = - i \sqrt{6}$

Этап 7