Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} = 8$ , $y^{2} = 2 x$

Этап 1

Решим относительно $y$ в $y^{2} = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Этап 1.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Этап 1.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Этап 1.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Этап 2

Решим систему $y = \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $y$ на $\sqrt{2 x}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} = 8$ на $\sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + {(\sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{2 x}}^{2}$ в виде $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.1.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.1.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.1.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.1.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.1.2.1.5

Упростим.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ в $x^{2} + 2 x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.2.2

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $x$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = \sqrt{2 x}$ на $2$ .

$y = \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $\sqrt{2 (2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \sqrt{4}$

$x = 2$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

Этап 2.3.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $x$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = \sqrt{2 x}$ на $- 4$ .

$y = \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\sqrt{2 (- 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y = \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$y = \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$y = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

Этап 2.4.2.1.4

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = i \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

Этап 2.4.2.1.5

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = i \cdot \sqrt{4 (2)}$

$x = - 4$

Этап 2.4.2.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

Этап 2.4.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = i \cdot (2 \sqrt{2})$

$x = - 4$

Этап 2.4.2.1.7

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

Этап 3

Решим систему $y = - \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $y$ на $- \sqrt{2 x}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} = 8$ на $- \sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + {(- \sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{2} + 1 {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим ${\sqrt{2 x}}^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.1.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{2 x}}^{2}$ в виде $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.1.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.1.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.1.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.1.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.1.2.1.4.5

Упростим.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ в $x^{2} + 2 x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.2.2

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

$- 2, 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $x$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - \sqrt{2 x}$ на $2$ .

$y = - \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $- \sqrt{2 (2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y = - \sqrt{4}$

$x = 2$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = - \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

Этап 3.3.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = - 1 \cdot 2$

$x = 2$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $x$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - \sqrt{2 x}$ на $- 4$ .

$y = - \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- \sqrt{2 (- 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y = - \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$y = - \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

Этап 3.4.2.1.3

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$y = - (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

Этап 3.4.2.1.4

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = - (i \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

Этап 3.4.2.1.5

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = - (i \cdot \sqrt{4 (2)})$

$x = - 4$

Этап 3.4.2.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

Этап 3.4.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = - (i \cdot (2 \sqrt{2}))$

$x = - 4$

Этап 3.4.2.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.7.1

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = - (2 \cdot (i \sqrt{2}))$

$x = - 4$

Этап 3.4.2.1.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

Этап 4

Перечислим все решения.

$y = 2, x = 2$

$y = 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

$y = - 2, x = 2$

$y = - 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

Этап 5