Основы мат. анализа Примеры

$2$ , $4$ , $8$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $2$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = 2$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = 2$ и $r = 2$ .

$a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1}$

Этап 4

Умножим $2$ на $2^{n - 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $2^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$a_{n} = 2^{1} \cdot 2^{n - 1}$

Этап 4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a_{n} = 2^{1 + n - 1}$

Этап 4.2

Объединим противоположные члены в $1 + n - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a_{n} = 2^{n + 0}$

Этап 4.2.2

Добавим $n$ и $0$ .

$a_{n} = 2^{n}$

Этап 5

Это формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для ее вычисления найдем значения $r$ и $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Этап 6

Заменим переменные известными величинами, чтобы найти $S_{3}$ .

$S_{3} = 2 \cdot \frac{{(2)}^{3} - 1}{2 - 1}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$S_{3} = 2 \cdot \frac{8 - 1}{2 - 1}$

Этап 7.2

Вычтем $1$ из $8$ .

$S_{3} = 2 \cdot \frac{7}{2 - 1}$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$S_{3} = 2 \cdot \frac{7}{1}$

Этап 8.2

Разделим $7$ на $1$ .

$S_{3} = 2 \cdot 7$

Этап 8.3

Умножим $2$ на $7$ .

$S_{3} = 14$

Этап 9

Преобразуем дробь в десятичное число.

$S_{3} = 14$