Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 15$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 15$ в виде уравнения.

$y = 3 x^{2} + 18 x + 15$

Этап 2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$3 x^{2} + 18 x + 15 = y$

Этап 3

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 18 x = y - 15$

Этап 4

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = 18$

$c = 0 = y - 15$

Этап 4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 15$

Этап 4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{18}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (3)}$

Этап 4.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{9}{3}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$d = \frac{3 \cdot 3}{3}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Этап 4.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Этап 4.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Возведем $18$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 3}$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 0 - \frac{324}{12}$

Этап 4.4.2.1.3

Разделим $324$ на $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 27$

Этап 4.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $27$ .

$e = 0 - 27$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $27$ из $0$ .

$e = - 27$

Этап 4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(x + 3)}^{2} - 27$ .

$3 {(x + 3)}^{2} - 27 = y - 15$

Этап 5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $27$ к обеим частям уравнения.

$3 {(x + 3)}^{2} = y - 15 + 27$

Этап 5.2

Добавим $- 15$ и $27$ .

$3 {(x + 3)}^{2} = y + 12$

Этап 6

Разделим каждый член $3 {(x + 3)}^{2} = y + 12$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $3 {(x + 3)}^{2} = y + 12$ на $3$ .

$\frac{3 {(x + 3)}^{2}}{3} = \frac{y}{3} + \frac{12}{3}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(x + 3)}^{2}}{3} = \frac{y}{3} + \frac{12}{3}$

Этап 6.2.1.2

Разделим ${(x + 3)}^{2}$ на $1$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{y}{3} + \frac{12}{3}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим $12$ на $3$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{y}{3} + 4$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{y}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{y}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Этап 7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x + 3)}^{2} = \frac{y + 4 \cdot 3}{3}$

Этап 7.4

Умножим $4$ на $3$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{y + 12}{3}$

Этап 7.5

Изменим порядок членов.

${(x + 3)}^{2} = \frac{1}{3} (y + 12)$