Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{3} - x^{2} - 5 x + 2}{x - 5}$

Этап 1

Чтобы вычислить остаток, сначала разделим многочлены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 5 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} - 20 x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$

Этап 1.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$	+	$2$

Этап 1.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$15$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$	+	$2$

Этап 1.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$15$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$	+	$2$
							+	$15 x$	-	$75$

Этап 1.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 x - 75$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$15$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$	+	$2$
							-	$15 x$	+	$75$

Этап 1.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$15$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$15 x$	+	$2$
							-	$15 x$	+	$75$
									+	$77$

Этап 1.16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{2} + 4 x + 15 + \frac{77}{x - 5}$

Этап 2

Поскольку последний член в полученном выражении является дробью, числитель этой дроби является остатком.

$77$