Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{18}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{1}{3}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{1}{3}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = \frac{1}{2}$ и $r = \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 4

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 5

Объединим.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 1^{n - 1}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6

Умножим $1$ на $1^{n - 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $1$ на $1^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$a_{n} = \frac{1^{1} \cdot 1^{n - 1}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a_{n} = \frac{1^{1 + n - 1}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6.2

Объединим противоположные члены в $1 + n - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a_{n} = \frac{1^{n + 0}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6.2.2

Добавим $n$ и $0$ .

$a_{n} = \frac{1^{n}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 7

Единица в любой степени равна единице.

$a_{n} = \frac{1}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 8

Подставим значение $n$ , чтобы найти $n$ -й член.

$a_{4} = \frac{1}{2 \cdot 3^{(4) - 1}}$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $1$ из $4$ .

$a_{4} = \frac{1}{2 \cdot 3^{3}}$

Этап 9.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$a_{4} = \frac{1}{2 \cdot 27}$

Этап 10

Умножим $2$ на $27$ .

$a_{4} = \frac{1}{54}$