Основы мат. анализа Примеры

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = 4 (y - 1)$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ .

$4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ на $4$ .

$\frac{4 (y - 1)}{4} = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (y - 1)}{4} = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $y - 1$ на $1$ .

$y - 1 = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y - 1 = \frac{{(x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Этап 1.2.3.1.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$y - 1 = \frac{{(\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Этап 1.2.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y - 1 = \frac{{(\frac{x \cdot 2 + 1}{2})}^{2}}{4}$

Этап 1.2.3.1.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y - 1 = \frac{{(\frac{2 x + 1}{2})}^{2}}{4}$

Этап 1.2.3.1.5

Применим правило умножения к $\frac{2 x + 1}{2}$ .

$y - 1 = \frac{\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2^{2}}}{4}$

Этап 1.2.3.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y - 1 = \frac{\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4}}{4}$

Этап 1.2.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 1.2.3.3

Объединим.

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2} \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Умножим ${(2 x + 1)}^{2}$ на $1$ .

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.4.2

Умножим $4$ на $4$ .

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{16}$

Этап 1.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{16} + 1$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{16} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + 1$

Этап 2.1.2

Составим полный квадрат для $\frac{1}{16} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Перепишем ${(2 x + 1)}^{2}$ в виде $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{16} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.2

Развернем $(2 x + 1) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.3.1.5

Умножим $2 x$ на $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 4 x + 1) + 1$

Этап 2.1.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{16} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.2.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{1}{4 (4)} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.2.1.1.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 (4)} (4 (x^{2})) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.2.1.1.5.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 4} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.2.1.1.5.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.2.1.1.5.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.2.1.1.5.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.5.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 (4)} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.2.1.1.5.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 (4)} (4 (x)) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.2.1.1.5.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.2.1.1.5.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} x + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.2.1.1.5.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.2.1.1.5.5

Умножим $\frac{1}{16}$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} + 1$

Этап 2.1.2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} + \frac{16}{16}$

Этап 2.1.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1 + 16}{16}$

Этап 2.1.2.1.4

Добавим $1$ и $16$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{17}{16}$

Этап 2.1.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{4}$

$c = \frac{17}{16}$

Этап 2.1.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 2.1.2.4.2

Сократим общий множитель $\frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 2.1.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{2}$

Этап 2.1.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 2.1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель ${(\frac{1}{4})}^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $\frac{1}{4}$ из ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 2.1.2.5.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $\frac{1}{4}$ из $4 (\frac{1}{4})$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Этап 2.1.2.5.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Этап 2.1.2.5.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Этап 2.1.2.5.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = \frac{17}{16} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 2.1.2.5.2.1.3

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1.3.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 2.1.2.5.2.1.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{1}{16}$

Этап 2.1.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{17 - 1}{16}$

Этап 2.1.2.5.2.3

Вычтем $1$ из $17$ .

$e = \frac{16}{16}$

Этап 2.1.2.5.2.4

Разделим $16$ на $16$ .

$e = 1$

Этап 2.1.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{4} {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{4} {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Этап 2.1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = 1$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{2}, 1)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 2.5.3.2

Упростим путем деления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.1

Разделим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 2.5.3.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{1}{2}, 2)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = 0$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{1}{2}, 1)$

Фокус: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Ось симметрии: $x = - \frac{1}{2}$

Директриса: $y = 0$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{1}{2}, 1)$

Фокус: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Ось симметрии: $x = - \frac{1}{2}$

Директриса: $y = 0$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 17}{16}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 1) + 17}{16}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f (- 1) = \frac{4 + 4 (- 1) + 17}{16}$

Этап 3.2.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{4 - 4 + 17}{16}$

Этап 3.2.1.4

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (- 1) = \frac{0 + 17}{16}$

Этап 3.2.1.5

Добавим $0$ и $17$ .

$f (- 1) = \frac{17}{16}$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ: $\frac{17}{16}$ .

$\frac{17}{16}$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $\frac{17}{16}$ .

$y = \frac{17}{16}$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 17}{16}$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 4 + 4 (- 2) + 17}{16}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- 2) = \frac{16 + 4 (- 2) + 17}{16}$

Этап 3.5.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{16 - 8 + 17}{16}$

Этап 3.5.1.4

Вычтем $8$ из $16$ .

$f (- 2) = \frac{8 + 17}{16}$

Этап 3.5.1.5

Добавим $8$ и $17$ .

$f (- 2) = \frac{25}{16}$

Этап 3.5.2

Окончательный ответ: $\frac{25}{16}$ .

$\frac{25}{16}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $\frac{25}{16}$ .

$y = \frac{25}{16}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{4 {(1)}^{2} + 4 (1) + 17}{16}$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (1) + 17}{16}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1) = \frac{4 + 4 (1) + 17}{16}$

Этап 3.8.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1) = \frac{4 + 4 + 17}{16}$

Этап 3.8.1.4

Добавим $4$ и $4$ .

$f (1) = \frac{8 + 17}{16}$

Этап 3.8.1.5

Добавим $8$ и $17$ .

$f (1) = \frac{25}{16}$

Этап 3.8.2

Окончательный ответ: $\frac{25}{16}$ .

$\frac{25}{16}$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $\frac{25}{16}$ .

$y = \frac{25}{16}$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{4 {(2)}^{2} + 4 (2) + 17}{16}$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 4 + 4 (2) + 17}{16}$

Этап 3.11.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f (2) = \frac{16 + 4 (2) + 17}{16}$

Этап 3.11.1.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f (2) = \frac{16 + 8 + 17}{16}$

Этап 3.11.1.4

Добавим $16$ и $8$ .

$f (2) = \frac{24 + 17}{16}$

Этап 3.11.1.5

Добавим $24$ и $17$ .

$f (2) = \frac{41}{16}$

Этап 3.11.2

Окончательный ответ: $\frac{41}{16}$ .

$\frac{41}{16}$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $\frac{41}{16}$ .

$y = \frac{41}{16}$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{16} \\ - 1 & \frac{17}{16} \\ - \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & \frac{25}{16} \\ 2 & \frac{41}{16} \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{1}{2}, 1)$

Фокус: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Ось симметрии: $x = - \frac{1}{2}$

Директриса: $y = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{16} \\ - 1 & \frac{17}{16} \\ - \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & \frac{25}{16} \\ 2 & \frac{41}{16} \end{array}$

Этап 5