Основы мат. анализа Примеры

${(y - 1)}^{2} = 8 (x + 3)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ .

$8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ на $8$ .

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $x + 3$ на $1$ .

$x + 3 = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Этап 3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8} - 3$

Этап 4

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y - 1)}^{2} - 3$

Этап 4.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 3$

$k = 1$

Этап 4.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 4.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Этап 4.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 4.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Этап 4.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Этап 4.5.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Этап 4.5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Этап 4.5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Этап 4.5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \cdot 2$

Этап 4.5.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 4.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 1, 1)$

Этап 4.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 1$

Этап 4.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 4.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - 5$

Этап 4.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 3, 1)$

Фокус: $(- 1, 1)$

Ось симметрии: $y = 1$

Директриса: $x = - 5$

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 3, 1)$

Фокус: $(- 1, 1)$

Ось симметрии: $y = 1$

Директриса: $x = - 5$

Этап 5

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . В данном случае получится точка $(- 2, 3.82842712)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Этап 5.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2} + 1$

Этап 5.1.2.2

Окончательный ответ: $2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 2 \sqrt{2} + 1$

Этап 5.1.3

Преобразуем $2 \sqrt{2} + 1$ в десятичное представление.

$= 3.82842712$

Этап 5.2

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . В данном случае получится точка $(- 2, - 1.82842712)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Этап 5.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2} + 1$

Этап 5.2.2.2

Окончательный ответ: $- 2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = - 2 \sqrt{2} + 1$

Этап 5.2.3

Преобразуем $- 2 \sqrt{2} + 1$ в десятичное представление.

$= - 1.82842712$

Этап 5.3

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . В данном случае получится точка $(- 1, 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Этап 5.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{4} + 1$

Этап 5.3.2.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Этап 5.3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 1) = 2 \cdot 2 + 1$

Этап 5.3.2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 1) = 4 + 1$

Этап 5.3.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$f (- 1) = 5$

Этап 5.3.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Этап 5.3.3

Преобразуем $5$ в десятичное представление.

$= 5$

Этап 5.4

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . В данном случае получится точка $(- 1, - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Этап 5.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{4} + 1$

Этап 5.4.2.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Этап 5.4.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 1) = - 2 \cdot 2 + 1$

Этап 5.4.2.1.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (- 1) = - 4 + 1$

Этап 5.4.2.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f (- 1) = - 3$

Этап 5.4.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 5.4.3

Преобразуем $- 3$ в десятичное представление.

$= - 3$

Этап 5.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Этап 6

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 3, 1)$

Фокус: $(- 1, 1)$

Ось симметрии: $y = 1$

Директриса: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Этап 7