Основы мат. анализа Примеры

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{81} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{81} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2$

$b = 9$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(9)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + {(9)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + 81}$

Этап 5.3.3

Добавим $4$ и $81$ .

$\sqrt{85}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 2)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - 2)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(0, 2), (0, - 2)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, \sqrt{85})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - \sqrt{85})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(0, \sqrt{85}), (0, - \sqrt{85})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(9)}^{2}}}{2}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9^{2}}}{2}$

Этап 8.3.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 81}}{2}$

Этап 8.3.3

Добавим $4$ и $81$ .

$\frac{\sqrt{85}}{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{9^{2}}{\sqrt{85}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{81}{\sqrt{85}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{81}{\sqrt{85}}$ на $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\frac{81}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{81}{\sqrt{85}}$ на $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\frac{81 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{85}$ в степень $1$ .

$\frac{81 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1} \sqrt{85}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{85}$ в степень $1$ .

$\frac{81 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1} {\sqrt{85}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{81 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{81 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{85}}^{2}$ в виде $85$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{85}$ в виде $85^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{81 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{81 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{81 \sqrt{85}}{85^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{81 \sqrt{85}}{85}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{2}{9} x + 0$

Этап 11

Упростим $\frac{2}{9} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $\frac{2}{9} x$ и $0$ .

$y = \frac{2}{9} x$

Этап 11.2

Объединим $\frac{2}{9}$ и $x$ .

$y = \frac{2 x}{9}$

Этап 12

Упростим $- \frac{2}{9} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- \frac{2}{9} x$ и $0$ .

$y = - \frac{2}{9} x$

Этап 12.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{9}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{9}$

Этап 12.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = - \frac{2 x}{9}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{2 x}{9}, y = - \frac{2 x}{9}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(0, 2), (0, - 2)$

Фокусы: $(0, \sqrt{85}), (0, - \sqrt{85})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{85}}{2}$

Фокальный параметр: $\frac{81 \sqrt{85}}{85}$

Асимптоты: $y = \frac{2 x}{9}$ , $y = - \frac{2 x}{9}$

Этап 15