Основы мат. анализа Примеры

$72 x^{2} + y^{2} + 24 y = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $y^{2} + 24 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 24$

$c = 0$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Сократим общий множитель $24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (1)}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{12}{1}$

Этап 1.1.3.2.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$d = 12$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{576}{4}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Разделим $576$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Этап 1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $144$ .

$e = 0 - 144$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $144$ из $0$ .

$e = - 144$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 12)}^{2} - 144$ .

${(y + 12)}^{2} - 144$

Этап 1.2

Подставим ${(y + 12)}^{2} - 144$ вместо $y^{2} + 24 y$ в уравнение $72 x^{2} + y^{2} + 24 y = 0$ .

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} - 144 = 0$

Этап 1.3

Перенесем $- 144$ в правую часть уравнения, прибавив $144$ к обеим частям.

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} = 0 + 144$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $144$ .

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} = 144$

Этап 1.5

Разделим каждый член на $144$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{72 x^{2}}{144} + \frac{{(y + 12)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Этап 1.6

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y + 12)}^{2}}{144} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 12$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 12$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, - 12)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(12)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\sqrt{144 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{144 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{144 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{144 - 2^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{144 - 1 \cdot 2}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{144 - 2}$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $2$ из $144$ .

$\sqrt{142}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, - 12 + 12)$

Этап 6.3

Упростим.

$(0, 0)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, - 12 - (12))$

Этап 6.6

Упростим.

$(0, - 24)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, - 12 + \sqrt{142})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, - 12 - (\sqrt{142}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(0, - 12 - \sqrt{142})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{12}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - {\sqrt{2}}^{2}}}{12}$

Этап 8.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{144 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{12}$

Этап 8.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{12}$

Этап 8.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}}{12}$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}}{12}$

Этап 8.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{144 - 2^{1}}}{12}$

Этап 8.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{144 - 1 \cdot 2}}{12}$

Этап 8.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 2}}{12}$

Этап 8.3.4

Вычтем $2$ из $144$ .

$\frac{\sqrt{142}}{12}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, - 12)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{142}}{12}$

Этап 10