Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{2} + y^{2} = 81$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $81$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{9 x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{81} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 9$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\sqrt{81 - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{81 - 1 \cdot 9}$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\sqrt{81 - 9}$

Этап 5.3.4

Вычтем $9$ из $81$ .

$\sqrt{72}$

Этап 5.3.5

Перепишем $72$ в виде $6^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $36$ из $72$ .

$\sqrt{36 (2)}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2} \cdot 2}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$6 \sqrt{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + 9)$

Этап 6.3

Упростим.

$(0, 9)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (9))$

Этап 6.6

Упростим.

$(0, - 9)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + 6 \sqrt{2})$

Этап 7.3

Упростим.

$(0, 6 \sqrt{2})$

Этап 7.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (6 \sqrt{2}))$

Этап 7.6

Упростим.

$(0, - 6 \sqrt{2})$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{2})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}}{9}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 3^{2}}}{9}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}{9}$

Этап 8.3.1.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{\sqrt{81 - 9}}{9}$

Этап 8.3.1.4

Вычтем $9$ из $81$ .

$\frac{\sqrt{72}}{9}$

Этап 8.3.1.5

Перепишем $72$ в виде $6^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

Вынесем множитель $36$ из $72$ .

$\frac{\sqrt{36 (2)}}{9}$

Этап 8.3.1.5.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}{9}$

Этап 8.3.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6 \sqrt{2}}{9}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{9}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 (3)}$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{2})$

Эксцентриситет: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Этап 10