Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y + 51 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $51$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $64$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Этап 1.3

Подставим $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ вместо $4 x^{2} + 8 x$ в уравнение $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 3 y^{2} - 24 y = - 51$

Этап 1.4

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y = - 51 + 4$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $3 y^{2} - 24 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = - 24$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 3}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (3)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 12}{3}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 3}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 0 - \frac{576}{12}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $576$ на $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 48$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $48$ .

$e = 0 - 48$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $48$ из $0$ .

$e = - 48$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ .

$3 {(y - 4)}^{2} - 48$

Этап 1.6

Подставим $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ вместо $3 y^{2} - 24 y$ в уравнение $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} - 48 = - 51 + 4$

Этап 1.7

Перенесем $- 48$ в правую часть уравнения, прибавив $48$ к обеим частям.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 51 + 4 + 48$

Этап 1.8

Упростим $- 51 + 4 + 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 51$ и $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 47 + 48$

Этап 1.8.2

Добавим $- 47$ и $48$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 1$

Этап 1.9

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{\frac{1}{3}} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 4$

$h = - 1$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 1, 4)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.5.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 5.3.5.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}$

Этап 5.3.6

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Этап 5.3.7

Чтобы записать $- \frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 5.3.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 5.3.8.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 5.3.8.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}}$

Этап 5.3.8.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}}$

Этап 5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}}$

Этап 5.3.10

Вычтем $3$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{12}}$

Этап 5.3.11

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{12}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$

Этап 5.3.12

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{12}}$

Этап 5.3.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.13.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.13.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}}$

Этап 5.3.13.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Этап 5.3.13.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$

Этап 5.3.14

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3.15

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.3.15.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 5.3.15.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Этап 5.3.15.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Этап 5.3.15.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.15.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.3.15.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.15.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.15.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.15.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.15.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Этап 5.3.15.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.3.16

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{3}))$

Этап 6.5

Упростим.

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 6.6

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{6}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.5

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.6.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.6.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.7

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.8

Чтобы записать $- \frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.9.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.9.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.9.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.11

Вычтем $3$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.12

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{12}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.13

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.14.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.14.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.15

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.16.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.17

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.17.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.17.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 3$

Этап 8.3.18

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3$

Этап 8.3.19

Объединим $\frac{1}{6}$ и $3$ .

$\frac{3}{6}$

Этап 8.3.20

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.20.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Этап 8.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.20.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 8.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 8.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(- 1, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Эксцентриситет: $\frac{1}{2}$

Этап 10