Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} = 3 y$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $3 y = x^{2}$ .

$3 y = x^{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $3 y = x^{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $3 y = x^{2}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3}$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $\frac{x^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = 0$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{3})}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{3})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{3})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{\frac{1}{3}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 0 \cdot 3$

Этап 2.1.1.3.2.3

Умножим $0$ на $3$ .

$d = 0$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{3})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{3}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 0 - (0 (\frac{3}{4}))$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Умножим $0$ на $\frac{3}{4}$ .

$e = 0 - 0$

Этап 2.1.1.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 0 + 0$

Этап 2.1.1.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$e = 0$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{3} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{2}$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = 0$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Этап 2.5.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 (\frac{3}{4})$

Этап 2.5.3.3

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, \frac{3}{4})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{3}{4}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{3}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{3}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{3}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{3}{4}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{3}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3}$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3}$

Этап 3.5.2

Окончательный ответ: $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{3}$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Сократим общий множитель ${(3)}^{2}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Вынесем множитель $3$ из ${(3)}^{2}$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3}$

Этап 3.8.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Этап 3.8.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = \frac{3}{1}$

Этап 3.8.1.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$f (3) = 3$

Этап 3.8.2

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 3$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{3}$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{3}$

Этап 3.11.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 1$ равно $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{4}{3} \\ - 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} \\ 3 & 3 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{3}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{4}{3} \\ - 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} \\ 3 & 3 \end{array}$

Этап 5