Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} - 10 y + 4 x + 25 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 10 y + 4 x + 25 = - y^{2}$

Этап 1.2

Добавим $10 y$ к обеим частям уравнения.

$4 x + 25 = - y^{2} + 10 y$

Этап 1.3

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - y^{2} + 10 y - 25$

Этап 2

Разделим каждый член $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{4} + \frac{- 25}{4}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 (2)} + \frac{- 25}{4}$

Этап 2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 2} + \frac{- 25}{4}$

Этап 2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{- 25}{4}$

Этап 2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$

Этап 3

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Составим полный квадрат для $- \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = \frac{5}{2}$

$c = - \frac{25}{4}$

Этап 3.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 3.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 3.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 3.1.1.3.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{4})})$

Этап 3.1.1.3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2}{4}})$

Этап 3.1.1.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}})$

Этап 3.1.1.3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Этап 3.1.1.3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Этап 3.1.1.3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{1}{2}})$

Этап 3.1.1.3.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = \frac{5}{2} (- (1 \cdot 2))$

Этап 3.1.1.3.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- (1 \cdot 2)$ .

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Этап 3.1.1.3.2.6.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Этап 3.1.1.3.2.6.3

Перепишем это выражение.

$d = 5 (- 1 \cdot (1))$

Этап 3.1.1.3.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$d = 5 \cdot - 1$

Этап 3.1.1.3.2.8

Умножим $5$ на $- 1$ .

$d = - 5$

Этап 3.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 3.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{5^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 3.1.1.4.2.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 3.1.1.4.2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 3.1.1.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Этап 3.1.1.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Этап 3.1.1.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 1}$

Этап 3.1.1.4.2.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{25}{4}}{- 1}$ .

$e = - \frac{25}{4} - (- 1 \cdot \frac{25}{4})$

Этап 3.1.1.4.2.1.5

Перепишем $- 1 \cdot \frac{25}{4}$ в виде $- \frac{25}{4}$ .

$e = - \frac{25}{4} - - \frac{25}{4}$

Этап 3.1.1.4.2.1.6

Умножим $- - \frac{25}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = - \frac{25}{4} + 1 (\frac{25}{4})$

Этап 3.1.1.4.2.1.6.2

Умножим $\frac{25}{4}$ на $1$ .

$e = - \frac{25}{4} + \frac{25}{4}$

Этап 3.1.1.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 25 + 25}{4}$

Этап 3.1.1.4.2.3

Добавим $- 25$ и $25$ .

$e = \frac{0}{4}$

Этап 3.1.1.4.2.4

Разделим $0$ на $4$ .

$e = 0$

Этап 3.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$

Этап 3.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 5)}^{2} + 0$

Этап 3.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 5$

Этап 3.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены влево.

Обращены влево

Этап 3.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 5)$

Этап 3.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 3.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 3.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 3.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 3.5.3.3

Разделим $4$ на $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Этап 3.5.3.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1}$

Этап 3.5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 3.5.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 3.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 3.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 1, 5)$

Этап 3.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 5$

Этап 3.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 3.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = 1$

Этап 3.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление: обращены влево

Вершина: $(0, 5)$

Фокус: $(- 1, 5)$

Ось симметрии: $y = 5$

Директриса: $x = 1$

Направление: обращены влево

Вершина: $(0, 5)$

Фокус: $(- 1, 5)$

Ось симметрии: $y = 5$

Директриса: $x = 1$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = 5 + 2 \sqrt{- 1 x}$ . В данном случае получится точка $(- 2, 7.82842712)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 5 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 5 + 2 \sqrt{2}$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $5 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{2}$

Этап 4.1.3

Преобразуем $5 + 2 \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= 7.82842712$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = 5 - 2 \sqrt{- 1 x}$ . В данном случае получится точка $(- 2, 2.17157287)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 5 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 5 - 2 \sqrt{2}$

Этап 4.2.2.2

Окончательный ответ: $5 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{2}$

Этап 4.2.3

Преобразуем $5 - 2 \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= 2.17157287$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = 5 + 2 \sqrt{- 1 x}$ . В данном случае получится точка $(- 1, 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 5 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 5 + 2 \sqrt{1}$

Этап 4.3.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 1) = 5 + 2 \cdot 1$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 1) = 5 + 2$

Этап 4.3.2.2

Добавим $5$ и $2$ .

$f (- 1) = 7$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $7$ .

$y = 7$

Этап 4.3.3

Преобразуем $7$ в десятичное представление.

$= 7$

Этап 4.4

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = 5 - 2 \sqrt{- 1 x}$ . В данном случае получится точка $(- 1, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 2 \sqrt{1}$

Этап 4.4.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 1) = 5 - 2 \cdot 1$

Этап 4.4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (- 1) = 5 - 2$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$f (- 1) = 3$

Этап 4.4.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 4.4.3

Преобразуем $3$ в десятичное представление.

$= 3$

Этап 4.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7.83 \\ - 2 & 2.17 \\ - 1 & 7 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{array}$

Этап 5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление: обращены влево

Вершина: $(0, 5)$

Фокус: $(- 1, 5)$

Ось симметрии: $y = 5$

Директриса: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7.83 \\ - 2 & 2.17 \\ - 1 & 7 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{array}$

Этап 6