Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} = 1 - 25 x^{2}$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $25 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} + 25 x^{2} = 1$

Этап 1.1.2

Изменим порядок $y^{2}$ и $25 x^{2}$ .

$25 x^{2} + y^{2} = 1$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{25}} + y^{2} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 1$

$b = \frac{1}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - \frac{1}{5^{2}}}$

Этап 5.3.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{25}}$

Этап 5.3.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

Этап 5.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{25 - 1}{25}}$

Этап 5.3.7

Вычтем $1$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{24}{25}}$

Этап 5.3.8

Перепишем $\sqrt{\frac{24}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.9.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.9.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 5.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + 1)$

Этап 6.3

Упростим.

$(0, 1)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (1))$

Этап 6.6

Упростим.

$(0, - 1)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Этап 7.3

Упростим.

$(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Этап 7.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (\frac{2 \sqrt{6}}{5}))$

Этап 7.6

Упростим.

$(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}}{1}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Этап 8.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Этап 8.3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

Этап 8.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - \frac{1}{5^{2}}}$

Этап 8.3.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{25}}$

Этап 8.3.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

Этап 8.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{25 - 1}{25}}$

Этап 8.3.8

Вычтем $1$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{24}{25}}$

Этап 8.3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{24}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

Этап 8.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

Этап 8.3.10.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

Этап 8.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

Этап 8.3.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 8.3.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Эксцентриситет: $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 10