Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} - 4 y - 4 x = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y - 4 x = - y^{2}$

Этап 1.2

Добавим $4 y$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x = - y^{2} + 4 y$

Этап 2

Разделим каждый член $- 4 x = - y^{2} + 4 y$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - y^{2} + 4 y$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{4 y}{- 4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{4 y}{- 4}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{4 y}{- 4}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{- 4}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $4$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (y)}{- 4}$

Этап 2.3.1.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{y}{- 1}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 1 \cdot y$

Этап 2.3.1.3

Перепишем $- 1 \cdot y$ в виде $- y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - y$

Этап 3

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Составим полный квадрат для $\frac{y^{2}}{4} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - 1$

$c = 0$

Этап 3.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 3.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{4}}$

Этап 3.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Этап 3.1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 3.1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 3.1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Этап 3.1.1.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = - 1 \cdot 2$

Этап 3.1.1.3.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = - 2$

Этап 3.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 3.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 3.1.1.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 3.1.1.4.2.1.3

Разделим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{1}$

Этап 3.1.1.4.2.1.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{1}{1}$

Этап 3.1.1.4.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 3.1.1.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 3.1.1.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 3.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{4} {(y - 2)}^{2} - 1$ .

$\frac{1}{4} {(y - 2)}^{2} - 1$

Этап 3.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y - 2)}^{2} - 1$

Этап 3.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 1$

$k = 2$

Этап 3.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 3.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 1, 2)$

Этап 3.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 3.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 3.5.3.2

Упростим путем деления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Разделим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 3.5.3.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$

Этап 3.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 3.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 2)$

Этап 3.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 2$

Этап 3.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 3.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - 2$

Этап 3.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 1, 2)$

Фокус: $(0, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = - 2$

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 1, 2)$

Фокус: $(0, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = - 2$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = 2 + 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$ . В данном случае получится точка $(0, 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 + 2 \sqrt{- 1 (- 1 - (0))}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 2 + 2 \sqrt{- 1 (- 1 + 0)}$

Этап 4.1.2.1.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$f (0) = 2 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (0) = 2 + 2 \sqrt{1}$

Этап 4.1.2.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (0) = 2 + 2 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f (0) = 2 + 2$

Этап 4.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f (0) = 4$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 4.1.3

Преобразуем $4$ в десятичное представление.

$= 4$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = 2 - 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$ . В данном случае получится точка $(0, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 - 2 \sqrt{- 1 (- 1 - (0))}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 2 - 2 \sqrt{- 1 (- 1 + 0)}$

Этап 4.2.2.1.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$f (0) = 2 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (0) = 2 - 2 \sqrt{1}$

Этап 4.2.2.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (0) = 2 - 2 \cdot 1$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (0) = 2 - 2$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 4.2.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$= 0$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = 2 + 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$ . В данном случае получится точка $(1, 4.82842712)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 + 2 \sqrt{- 1 (- 1 - (1))}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = 2 + 2 \sqrt{- 1 (- 1 - 1)}$

Этап 4.3.2.1.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f (1) = 2 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (1) = 2 + 2 \sqrt{2}$

Этап 4.3.2.2

Окончательный ответ: $2 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 + 2 \sqrt{2}$

Этап 4.3.3

Преобразуем $2 + 2 \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= 4.82842712$

Этап 4.4

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = 2 - 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$ . В данном случае получится точка $(1, - 0.82842712)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 - 2 \sqrt{- 1 (- 1 - (1))}$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = 2 - 2 \sqrt{- 1 (- 1 - 1)}$

Этап 4.4.2.1.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f (1) = 2 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Этап 4.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (1) = 2 - 2 \sqrt{2}$

Этап 4.4.2.2

Окончательный ответ: $2 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 - 2 \sqrt{2}$

Этап 4.4.3

Преобразуем $2 - 2 \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= - 0.82842712$

Этап 4.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2 \\ 0 & 4 \\ 0 & 0 \\ 1 & 4.83 \\ 1 & - 0.83 \end{array}$

Этап 5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 1, 2)$

Фокус: $(0, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = - 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2 \\ 0 & 4 \\ 0 & 0 \\ 1 & 4.83 \\ 1 & - 0.83 \end{array}$

Этап 6