Основы мат. анализа Примеры

$16 y^{2} - 25 x^{2} - 96 y + 100 x - 356 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $356$ к обеим частям уравнения.

$16 y^{2} - 25 x^{2} - 96 y + 100 x = 356$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $16 y^{2} - 96 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 16$

$b = - 96$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 96}{2 \cdot 16}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 96$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 96$ .

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 (16)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 48}{16}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 48$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $- 48$ .

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$d = - 3$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 96)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 96$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot 16}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{64}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $9216$ на $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $144$ .

$e = 0 - 144$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $144$ из $0$ .

$e = - 144$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $16 {(y - 3)}^{2} - 144$ .

$16 {(y - 3)}^{2} - 144$

Этап 1.3

Подставим $16 {(y - 3)}^{2} - 144$ вместо $16 y^{2} - 96 y$ в уравнение $16 y^{2} - 25 x^{2} - 96 y + 100 x = 356$ .

$16 {(y - 3)}^{2} - 144 - 25 x^{2} + 100 x = 356$

Этап 1.4

Перенесем $- 144$ в правую часть уравнения, прибавив $144$ к обеим частям.

$16 {(y - 3)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 356 + 144$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- 25 x^{2} + 100 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{50}{- 25}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $50$ и $- 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Этап 1.5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = - 2$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $100$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $10000$ на $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $100$ .

$e = 100$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

Этап 1.6

Подставим $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ вместо $- 25 x^{2} + 100 x$ в уравнение $16 y^{2} - 25 x^{2} - 96 y + 100 x = 356$ .

$16 {(y - 3)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 356 + 144$

Этап 1.7

Перенесем $100$ в правую часть уравнения, прибавив $100$ к обеим частям.

$16 {(y - 3)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 356 + 144 - 100$

Этап 1.8

Упростим $356 + 144 - 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $356$ и $144$ .

$16 {(y - 3)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 500 - 100$

Этап 1.8.2

Вычтем $100$ из $500$ .

$16 {(y - 3)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 400$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $400$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{16 {(y - 3)}^{2}}{400} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{16} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 5$

$b = 4$

$k = 3$

$h = 2$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(2, 3)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + 16}$

Этап 5.3.3

Добавим $25$ и $16$ .

$\sqrt{41}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2, 8)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2, - 2)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(2, 8), (2, - 2)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2, 3 + \sqrt{41})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2, 3 - \sqrt{41})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(2, 3 + \sqrt{41}), (2, 3 - \sqrt{41})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(4)}^{2}}}{5}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 4^{2}}}{5}$

Этап 8.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 16}}{5}$

Этап 8.3.3

Добавим $25$ и $16$ .

$\frac{\sqrt{41}}{5}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{4^{2}}{\sqrt{41}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{\sqrt{41}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{16}{\sqrt{41}}$ на $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{16}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{16}{\sqrt{41}}$ на $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{41}$ в степень $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{41}$ в степень $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{41}}^{2}$ в виде $41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{41}$ в виде $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{5}{4} \cdot (x - (2)) + 3$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{5}{4} \cdot (x - (2)) + 3$

Этап 11.2

Упростим $\frac{5}{4} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{5}{4} \cdot (x - 2) + 3$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5}{4} x + \frac{5}{4} \cdot - 2 + 3$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{5}{4}$ и $x$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot - 2 + 3$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 (2)} \cdot - 2 + 3$

Этап 11.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Этап 11.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Этап 11.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} \cdot - 1 + 3$

Этап 11.2.1.5

Объединим $\frac{5}{2}$ и $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5 \cdot - 1}{2} + 3$

Этап 11.2.1.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5}{2} + 3$

Этап 11.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 3$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 11.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 6}{2}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $- 5$ и $6$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{5}{4} \cdot (x - (2)) + 3$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{5}{4} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - \frac{5}{4} \cdot (x - 2) + 3$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} \cdot - 2 + 3$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} \cdot - 2 + 3$

Этап 12.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot - 2 + 3$

Этап 12.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 (2)} \cdot - 2 + 3$

Этап 12.2.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Этап 12.2.1.4.4

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Этап 12.2.1.4.5

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1 + 3$

Этап 12.2.1.5

Объединим $\frac{- 5}{2}$ и $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2} + 3$

Этап 12.2.1.6

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5}{2} + 3$

Этап 12.2.1.7

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} + 3$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 12.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 12.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5 + 6}{2}$

Этап 12.2.5.2

Добавим $5$ и $6$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{11}{2}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{1}{2}, y = - \frac{5 x}{4} + \frac{11}{2}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(2, 3)$

Вершины: $(2, 8), (2, - 2)$

Фокусы: $(2, 3 + \sqrt{41}), (2, 3 - \sqrt{41})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{41}}{5}$

Фокальный параметр: $\frac{16 \sqrt{41}}{41}$

Асимптоты: $y = \frac{5 x}{4} + \frac{1}{2}$ , $y = - \frac{5 x}{4} + \frac{11}{2}$

Этап 15