Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y - 32 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $32$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y = 32$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $3 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = 12$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (3)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{6}{3}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$d = \frac{3 \cdot 2}{3}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 0 - \frac{144}{12}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $144$ на $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 12$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $12$ .

$e = 0 - 12$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $12$ из $0$ .

$e = - 12$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ .

$3 {(x + 2)}^{2} - 12$

Этап 1.3

Подставим $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ вместо $3 x^{2} + 12 x$ в уравнение $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y = 32$ .

$3 {(x + 2)}^{2} - 12 + 4 y^{2} - 16 y = 32$

Этап 1.4

Перенесем $- 12$ в правую часть уравнения, прибавив $12$ к обеим частям.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 16 y = 32 + 12$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $4 y^{2} - 16 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 8}{4}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $256$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(y - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(y - 2)}^{2} - 16$

Этап 1.6

Подставим $4 {(y - 2)}^{2} - 16$ вместо $4 y^{2} - 16 y$ в уравнение $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y = 32$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} - 16 = 32 + 12$

Этап 1.7

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 32 + 12 + 16$

Этап 1.8

Упростим $32 + 12 + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $32$ и $12$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 44 + 16$

Этап 1.8.2

Добавим $44$ и $16$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 60$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $60$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{3 {(x + 2)}^{2}}{60} + \frac{4 {(y - 2)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{20} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{15} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = \sqrt{15}$

$k = 2$

$h = - 2$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 2, 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 \cdot 5 - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Умножим $4$ на $5$ .

$\sqrt{20 - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{20 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{20 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{20 - 15^{1}}$

Этап 5.3.4.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{20 - 1 \cdot 15}$

Этап 5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Умножим $- 1$ на $15$ .

$\sqrt{20 - 15}$

Этап 5.3.5.2

Вычтем $15$ из $20$ .

$\sqrt{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

Этап 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 2 - (2 \sqrt{5}), 2)$

Этап 6.5

Упростим.

$(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

Этап 6.6

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

Этап 7.3

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 2 - (\sqrt{5}), 2)$

Этап 7.5

Упростим.

$(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5 - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{20 - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{20 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{20 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{20 - 15^{1}}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{20 - 1 \cdot 15}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.6

Умножим $- 1$ на $15$ .

$\frac{\sqrt{20 - 15}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.1.7

Вычтем $15$ из $20$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $\sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 8.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(- 2, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

Эксцентриситет: $\frac{1}{2}$

Этап 10