Основы мат. анализа Примеры

$2 y^{2} - x^{2} + 2 x + 8 y + 3 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} - x^{2} + 2 x + 8 y = - 3$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $2 y^{2} + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (2)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{2}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{8}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $64$ на $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 8$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$e = 0 - 8$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $8$ из $0$ .

$e = - 8$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(y + 2)}^{2} - 8$ .

$2 {(y + 2)}^{2} - 8$

Этап 1.3

Подставим $2 {(y + 2)}^{2} - 8$ вместо $2 y^{2} + 8 y$ в уравнение $2 y^{2} - x^{2} + 2 x + 8 y = - 3$ .

$2 {(y + 2)}^{2} - 8 - x^{2} + 2 x = - 3$

Этап 1.4

Перенесем $- 8$ в правую часть уравнения, прибавив $8$ к обеим частям.

$2 {(y + 2)}^{2} - x^{2} + 2 x = - 3 + 8$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.5.3.2.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Этап 1.5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$e = 1$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(x - 1)}^{2} + 1$

Этап 1.6

Подставим $- {(x - 1)}^{2} + 1$ вместо $- x^{2} + 2 x$ в уравнение $2 y^{2} - x^{2} + 2 x + 8 y = - 3$ .

$2 {(y + 2)}^{2} - {(x - 1)}^{2} + 1 = - 3 + 8$

Этап 1.7

Перенесем $1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

$2 {(y + 2)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 3 + 8 - 1$

Этап 1.8

Упростим $- 3 + 8 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 3$ и $8$ .

$2 {(y + 2)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 5 - 1$

Этап 1.8.2

Вычтем $1$ из $5$ .

$2 {(y + 2)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 4$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $4$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{2 {(y + 2)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \sqrt{2}$

$b = 2$

$k = - 2$

$h = 1$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(1, - 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2^{1} + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{2 + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{2 + 4}$

Этап 5.3.2.2

Добавим $2$ и $4$ .

$\sqrt{6}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, - 2 + \sqrt{2})$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, - 2 - \sqrt{2})$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(1, - 2 + \sqrt{2}), (1, - 2 - \sqrt{2})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, - 2 + \sqrt{6})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, - 2 - \sqrt{6})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(1, - 2 + \sqrt{6}), (1, - 2 - \sqrt{6})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(2)}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2^{1} + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2 + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + 4}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.2

Объединим $\sqrt{6}$ и $\sqrt{2}$ под одним знаком корня.

$\sqrt{\frac{6}{2}}$

Этап 8.3.3

Разделим $6$ на $2$ .

$\sqrt{3}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{2^{2}}{\sqrt{6}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{6}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{4}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 \sqrt{6}}{6}$

Этап 9.3.4

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{6})}{6}$

Этап 9.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{6})}{2 (3)}$

Этап 9.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 3}$

Этап 9.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (1)) - 2$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (1)) - 2$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - 1) - 2$

Этап 11.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 1 - 2$

Этап 11.2.3

Объединим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 1 - 2$

Этап 11.2.4

Объединим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $- 1$ .

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot - 1}{2} - 2$

Этап 11.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1.1

Перенесем $- 1$ влево от $\sqrt{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 \cdot \sqrt{2}}{2} - 2$

Этап 11.2.5.1.2

Перепишем $- 1 \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2$

Этап 11.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (1)) - 2$

Этап 12.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - 1) - 2$

Этап 12.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 1 - 2$

Этап 12.2.3

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 1 - 2$

Этап 12.2.4

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$

Этап 12.2.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2, y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(1, - 2)$

Вершины: $(1, - 2 + \sqrt{2}), (1, - 2 - \sqrt{2})$

Фокусы: $(1, - 2 + \sqrt{6}), (1, - 2 - \sqrt{6})$

Эксцентриситет: $\sqrt{3}$

Фокальный параметр: $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Асимптоты: $y = \frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$ , $y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$

Этап 15