Основы мат. анализа Примеры

$25 x^{2} + 16 y^{2} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{25}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{16}} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{5^{2}}}$

Этап 5.3.6

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{25}}$

Этап 5.3.7

Чтобы записать $\frac{1}{16}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

Этап 5.3.8

Чтобы записать $- \frac{1}{25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Этап 5.3.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $400$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Этап 5.3.9.2

Умножим $16$ на $25$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Этап 5.3.9.3

Умножим $\frac{1}{25}$ на $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{25 \cdot 16}}$

Этап 5.3.9.4

Умножим $25$ на $16$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{400}}$

Этап 5.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{25 - 16}{400}}$

Этап 5.3.11

Вычтем $16$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{9}{400}}$

Этап 5.3.12

Перепишем $\sqrt{\frac{9}{400}}$ в виде $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}}$ .

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}}$

Этап 5.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.13.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{400}}$

Этап 5.3.13.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{\sqrt{400}}$

Этап 5.3.14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.14.1

Перепишем $400$ в виде $20^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{20^{2}}}$

Этап 5.3.14.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{20}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + \frac{1}{4})$

Этап 6.3

Упростим.

$(0, \frac{1}{4})$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (\frac{1}{4}))$

Этап 6.6

Упростим.

$(0, - \frac{1}{4})$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{4})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{4})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{4})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{4})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + \frac{3}{20})$

Этап 7.3

Упростим.

$(0, \frac{3}{20})$

Этап 7.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (\frac{3}{20}))$

Этап 7.6

Упростим.

$(0, - \frac{3}{20})$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{20})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}}{\frac{1}{4}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Этап 8.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{4^{2}} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Этап 8.3.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - {(\frac{1}{5})}^{2}} \cdot 4$

Этап 8.3.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1^{2}}{5^{2}}} \cdot 4$

Этап 8.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{5^{2}}} \cdot 4$

Этап 8.3.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{25}} \cdot 4$

Этап 8.3.8

Чтобы записать $\frac{1}{16}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25}} \cdot 4$

Этап 8.3.9

Чтобы записать $- \frac{1}{25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}} \cdot 4$

Этап 8.3.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $400$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 25} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}} \cdot 4$

Этап 8.3.10.2

Умножим $16$ на $25$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{16}} \cdot 4$

Этап 8.3.10.3

Умножим $\frac{1}{25}$ на $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{25 \cdot 16}} \cdot 4$

Этап 8.3.10.4

Умножим $25$ на $16$ .

$\sqrt{\frac{25}{400} - \frac{16}{400}} \cdot 4$

Этап 8.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{25 - 16}{400}} \cdot 4$

Этап 8.3.12

Вычтем $16$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{9}{400}} \cdot 4$

Этап 8.3.13

Перепишем $\sqrt{\frac{9}{400}}$ в виде $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}}$ .

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}} \cdot 4$

Этап 8.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{400}} \cdot 4$

Этап 8.3.14.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{\sqrt{400}} \cdot 4$

Этап 8.3.15

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.1

Перепишем $400$ в виде $20^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{20^{2}}} \cdot 4$

Этап 8.3.15.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{20} \cdot 4$

Этап 8.3.16

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{3}{4 (5)} \cdot 4$

Этап 8.3.16.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4 \cdot 5} \cdot 4$

Этап 8.3.16.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{5}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{4})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{4})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{20})$

Эксцентриситет: $\frac{3}{5}$

Этап 10