Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 6 x^{4} - 7 x^{3} - 36 x^{2} + 7 x + 6$

Этап 1

Разложим $6 x^{4} - 7 x^{3} - 36 x^{2} + 7 x + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 1.5$

Этап 1.3

Подставим $- 0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 0.\overline{3}$ в многочлен.

$6 {(- 0.\overline{3})}^{4} - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 1.3.2

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $4$ .

$6 \cdot 0.01234567 - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 1.3.3

Умножим $6$ на $0.01234567$ .

$0.\overline{074} - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 1.3.4

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$0.\overline{074} - 7 \cdot - 0.\overline{037} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 1.3.5

Умножим $- 7$ на $- 0.\overline{037}$ .

$0.\overline{074} + 0.\overline{259} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 1.3.6

Добавим $0.\overline{074}$ и $0.\overline{259}$ .

$0.\overline{3} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 1.3.7

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$0.\overline{3} - 36 \cdot 0.\overline{1} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 1.3.8

Умножим $- 36$ на $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{3} - 4 + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 1.3.9

Вычтем $4$ из $0.\overline{3}$ .

$- 3.66666666 + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 1.3.10

Умножим $7$ на $- 0.\overline{3}$ .

$- 3.66666666 - 2.\overline{3} + 6$

Этап 1.3.11

Вычтем $2.\overline{3}$ из $- 3.66666666$ .

$- 6 + 6$

Этап 1.3.12

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{6 x^{4} - 7 x^{3} - 36 x^{2} + 7 x + 6}{3 x + 1}$

Этап 1.5

Разделим $6 x^{4} - 7 x^{3} - 36 x^{2} + 7 x + 6$ на $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{4} + 2 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
			-	$6 x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	-	$36 x^{2}$
					-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 x^{3} - 3 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 33 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 33 x^{2} - 11 x$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

Этап 1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

$6$

Этап 1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$6$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

$6$

Этап 1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$6$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

$6$

$18 x$

$6$

Этап 1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 x + 6$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$6$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

$6$

$18 x$

$6$

Этап 1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$6$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

$6$

$18 x$

$6$

$0$

Этап 1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$

Этап 1.6

Запишем $6 x^{4} - 7 x^{3} - 36 x^{2} + 7 x + 6$ в виде набора множителей.

$f (x) = (3 x + 1) (2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6)$

Этап 2

Разложим $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Этап 2.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 3 \cdot {0.5}^{2} - 11 \cdot 0.5 + 6$

Этап 2.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 11 \cdot 0.5 + 6$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $0.125$ .

$0.25 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 11 \cdot 0.5 + 6$

Этап 2.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.25 - 3 \cdot 0.25 - 11 \cdot 0.5 + 6$

Этап 2.3.5

Умножим $- 3$ на $0.25$ .

$0.25 - 0.75 - 11 \cdot 0.5 + 6$

Этап 2.3.6

Вычтем $0.75$ из $0.25$ .

$- 0.5 - 11 \cdot 0.5 + 6$

Этап 2.3.7

Умножим $- 11$ на $0.5$ .

$- 0.5 - 5.5 + 6$

Этап 2.3.8

Вычтем $5.5$ из $- 0.5$ .

$- 6 + 6$

Этап 2.3.9

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6}{2 x - 1}$

Этап 2.5

Разделим $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$6$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$
							-	$12 x$	+	$6$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x + 6$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$
							+	$12 x$	-	$6$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$
							+	$12 x$	-	$6$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 6$

Этап 2.6

Запишем $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ в виде набора множителей.

$f (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} - x - 6))$

Этап 3

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) ((x - 3) (x + 2)))$

Этап 3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) (x - 3) (x + 2))$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (3 x + 1) (2 x - 1) (x - 3) (x + 2)$