Основы мат. анализа Примеры

$\sin (θ) < 0$ , $\tan (θ) < 0$

Этап 1

Решим $\sin (θ) < 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ < \arcsin (0)$

Этап 1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$θ < 0$

Этап 1.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - 0$

Этап 1.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$θ = π$

Этап 1.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.6

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.7

Объединим ответы.

$θ = π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$

Этап 1.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Проверим значение на интервале $0 < θ < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Выберем значение на интервале $0 < θ < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$θ = 2$

Этап 1.9.1.2

Заменим $θ$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sin (2) < 0$

Этап 1.9.1.3

Левая часть $0.90929742$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.9.2

Проверим значение на интервале $π < θ < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Выберем значение на интервале $π < θ < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$θ = 5$

Этап 1.9.2.2

Заменим $θ$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sin (5) < 0$

Этап 1.9.2.3

Левая часть $- 0.95892427$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.9.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < θ < π$ Ложь

$π < θ < 2 π$ Истина

$0 < θ < π$ Ложь

$π < θ < 2 π$ Истина

Этап 1.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2

Решим $\tan (θ) < 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ < \arctan (0)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$θ < 0$

Этап 2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = π + 0$

Этап 2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$θ = π$

Этап 2.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.6

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Объединим ответы.

$θ = π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8

Найдем область определения $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Зададим аргумент в $\tan (θ)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8.2

Область определения ― это все значения $θ$ , при которых выражение определено.

${θ | θ \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < θ < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < θ < π$

Этап 2.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Проверим значение на интервале $0 < θ < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Выберем значение на интервале $0 < θ < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$θ = 1$

Этап 2.10.1.2

Заменим $θ$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\tan (1) < 0$

Этап 2.10.1.3

Левая часть $1.55740772$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.10.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < θ < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < θ < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$θ = 2$

Этап 2.10.2.2

Заменим $θ$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\tan (2) < 0$

Этап 2.10.2.3

Левая часть $- 2.18503986$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.10.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < θ < \frac{π}{2}$ Ложь

$\frac{π}{2} < θ < π$ Истина

$0 < θ < \frac{π}{2}$ Ложь

$\frac{π}{2} < θ < π$ Истина

Этап 2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{2} + π n < θ < π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем пересечение $π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ и $\frac{π}{2} + π n < θ < π + π n$ .

Нет решения