Основы мат. анализа Примеры

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем область определения $y = x \sqrt{1 - x^{2}}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем $1 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Приравняем $1 + x$ к $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.3

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 1.2.3.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 1.2.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 1.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 1.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 1.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 1.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Этап 1.2.6.1.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.6.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Этап 1.2.6.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.2.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Этап 1.2.6.3.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 1.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 \leq x \leq 1$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 1, 1]$

Обозначение построения множества:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Интервальное представление:

$[- 1, 1]$

Обозначение построения множества:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Этап 2

Чтобы найти конечные точки, подставим граничные значения $x$ из области определения в $f (x) = x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Этап 2.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 - (- 1))}$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 + 1)}$

Этап 2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 \cdot 2}$

Этап 2.2.5

Умножим $0$ на $2$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0}$

Этап 2.2.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.7

Умножим на ноль.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 1) = - 1 \cdot 0$

Этап 2.2.7.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (- 1) = 0$

Этап 2.2.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Этап 2.4

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Этап 2.4.2

Умножим $\sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Этап 2.4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - (1))}$

Этап 2.4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - 1)}$

Этап 2.4.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Этап 2.4.6

Умножим $2$ на $0$ .

$f (1) = \sqrt{0}$

Этап 2.4.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (1) = 0$

Этап 2.4.9

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3

Конечные точки: $(- 1, 0), (1, 0)$ .

$(- 1, 0), (1, 0)$

Этап 4

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(- 1, 0), (1, 0),$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Этап 5