Основы мат. анализа Примеры

$y = 2 + \log_{2} (x)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $2 + \log_{2} (x)$ не определено.

$x \leq 0$

Этап 1.2

Поскольку $2 + \log_{2} (x)$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $2 + \log_{2} (x)$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 1.3

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.4

Горизонтальные асимптоты отсутствуют, поскольку $Q (x)$ равно $1$ .

Нет горизонтальных асимптот

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 + \log_{2} (1)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Логарифм $1$ по основанию $2$ равен $0$ .

$f (1) = 2 + 0$

Этап 2.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$f (1) = 2$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.3

Преобразуем $2$ в десятичное представление.

$y = 2$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 2 + \log_{2} (2)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Логарифм $2$ по основанию $2$ равен $1$ .

$f (2) = 2 + 1$

Этап 3.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f (2) = 3$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 3.3

Преобразуем $3$ в десятичное представление.

$y = 3$

Этап 4

Найдем точку в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = 2 + \log_{2} (4)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Логарифм $4$ по основанию $2$ равен $2$ .

$f (4) = 2 + 2$

Этап 4.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f (4) = 4$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 4.3

Преобразуем $4$ в десятичное представление.

$y = 4$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 2), (2, 3), (4, 4)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 4 & 4 \end{array}$

Этап 6