Основы мат. анализа Примеры

$y = - 2 \cos (\frac{2}{3} x)$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - 2$

$b = \frac{2}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $2$

Этап 3

Найдем период $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $\frac{2}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Этап 3.3

$\frac{2}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{6}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{3}{2}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{2}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{3}{2}$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$π \cdot 3$

Этап 3.6

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$3 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 (\frac{3}{2})$

Этап 4.4

Умножим $0$ на $\frac{3}{2}$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $2$

Период: $3 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 (0)}{3})$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $2 (0)$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3})$

Этап 6.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 (1)})$

Этап 6.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

Этап 6.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 \cdot (0)}{1})$

Этап 6.1.2.1.2.4

Разделим $2 \cdot (0)$ на $1$ .

$f (0) = - 2 \cos (2 \cdot (0))$

Этап 6.1.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Этап 6.1.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Этап 6.1.2.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (0) = - 2$

Этап 6.1.2.5

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим $2$ и $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

Этап 6.2.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})$

Этап 6.2.2.3

Сократим выражение $\frac{6 π}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

Этап 6.2.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})$

Этап 6.2.2.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Этап 6.2.2.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

Этап 6.2.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.2.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.2.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

Этап 6.2.2.7

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Этап 6.2.2.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{2})}{3})$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

Этап 6.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{2}}{3})$

Этап 6.3.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Сократим выражение $\frac{6 π}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

Этап 6.3.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3})$

Этап 6.3.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3})$

Этап 6.3.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

Этап 6.3.2.3.2

Разделим $3 π$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Этап 6.3.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Этап 6.3.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (π)$

Этап 6.3.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- \cos (0))$

Этап 6.3.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.3.2.7

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Этап 6.3.2.7.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2$

Этап 6.3.2.8

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{9 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

Этап 6.4.2.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})$

Этап 6.4.2.3

Сократим выражение $\frac{18 π}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $18 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

Этап 6.4.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})$

Этап 6.4.2.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Этап 6.4.2.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

Этап 6.4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.4.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.4.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.4.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

Этап 6.4.2.8

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 0$

Этап 6.4.2.9

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3 π$ .

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $2 (π)$ на $1$ .

$f (3 π) = - 2 \cos (2 (π))$

Этап 6.5.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (3 π) = - 2 \cos (0)$

Этап 6.5.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (3 π) = - 2 \cdot 1$

Этап 6.5.2.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (3 π) = - 2$

Этап 6.5.2.5

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $2$

Период: $3 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

Этап 8