Основы мат. анализа Примеры

$y = \log_{3} (x - 1) - 2$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\log_{3} (x - 1) - 2$ не определено.

$x \leq 1$

Этап 1.2

Поскольку $\log_{3} (x - 1) - 2$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ слева, а $\log_{3} (x - 1) - 2$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $1$ справа, то $x = 1$ — вертикальная асимптота.

$x = 1$

Этап 1.3

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.4

Горизонтальные асимптоты отсутствуют, поскольку $Q (x)$ равно $1$ .

Нет горизонтальных асимптот

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Этап 2

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \log_{3} ((2) - 1) - 2$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = \log_{3} (1) - 2$

Этап 2.2.1.2

Логарифм $1$ по основанию $3$ равен $0$ .

$f (2) = 0 - 2$

Этап 2.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$f (2) = - 2$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 2.3

Преобразуем $- 2$ в десятичное представление.

$y = - 2$

Этап 3

Найдем точку в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \log_{3} ((4) - 1) - 2$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (4) = \log_{3} (3) - 2$

Этап 3.2.1.2

Логарифм $3$ по основанию $3$ равен $1$ .

$f (4) = 1 - 2$

Этап 3.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (4) = - 1$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 3.3

Преобразуем $- 1$ в десятичное представление.

$y = - 1$

Этап 4

Найдем точку в $x = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f (10) = \log_{3} ((10) - 1) - 2$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вычтем $1$ из $10$ .

$f (10) = \log_{3} (9) - 2$

Этап 4.2.1.2

Логарифм $9$ по основанию $3$ равен $2$ .

$f (10) = 2 - 2$

Этап 4.2.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (10) = 0$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$y = 0$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 1$ и точек $(2, - 2), (4, - 1), (10, 0)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 2 \\ 4 & - 1 \\ 10 & 0 \end{array}$

Этап 6