Основы мат. анализа Примеры

$y = \log_{2} (x - 4)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$x - 4 = 0$

Этап 1.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = 4$ .

Вертикальная асимптота: $x = 4$

Этап 2

Найдем точку в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \log_{2} ((5) - 4)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $4$ из $5$ .

$f (5) = \log_{2} (1)$

Этап 2.2.2

Логарифм $1$ по основанию $2$ равен $0$ .

$f (5) = 0$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$y = 0$

Этап 3

Найдем точку в $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = \log_{2} ((6) - 4)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $4$ из $6$ .

$f (6) = \log_{2} (2)$

Этап 3.2.2

Логарифм $2$ по основанию $2$ равен $1$ .

$f (6) = 1$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 3.3

Преобразуем $1$ в десятичное представление.

$y = 1$

Этап 4

Найдем точку в $x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = \log_{2} ((8) - 4)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4$ из $8$ .

$f (8) = \log_{2} (4)$

Этап 4.2.2

Логарифм $4$ по основанию $2$ равен $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Запишем как уравнение.

$\log_{2} (4) = x$

Этап 4.2.2.2

Перепишем $\log_{2} (4) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ положительные вещественные числа, и $b$ не равно $1$ , то равенство $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 4$

Этап 4.2.2.3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{2}$

Этап 4.2.2.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 2$

Этап 4.2.2.5

Переменная $x$ равна $2$ .

$f (8) = 2$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 4.3

Преобразуем $2$ в десятичное представление.

$y = 2$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 4$ и точек $(5, 0), (6, 1), (8, 2)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & 0 \\ 6 & 1 \\ 8 & 2 \end{array}$

Этап 6