Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем область определения $y = \sqrt{16 - x^{2}}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем $4 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Приравняем $4 + x$ к $0$ .

$4 + x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.2.3

Приравняем $4 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Приравняем $4 - x$ к $0$ .

$4 - x = 0$

Этап 1.2.3.2

Решим $4 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 1.2.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 1.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 4, 4$

Этап 1.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Этап 1.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 1.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Этап 1.2.6.1.3

Левая часть $- 20$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.6.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Этап 1.2.6.2.3

Левая часть $16$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 1.2.6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Этап 1.2.6.3.3

Левая часть $- 20$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 1.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 \leq x \leq 4$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 4, 4]$

Обозначение построения множества:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Интервальное представление:

$[- 4, 4]$

Обозначение построения множества:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Этап 2

Чтобы найти конечные точки, подставим граничные значения $x$ из области определения в $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Этап 2.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 + 4)}$

Этап 2.2.4

Добавим $4$ и $4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 \cdot 8}$

Этап 2.2.5

Умножим $0$ на $8$ .

$f (- 4) = \sqrt{0}$

Этап 2.2.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (- 4) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 4) = 0$

Этап 2.2.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Этап 2.4

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Избавимся от скобок.

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ и $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 (4 - (4))}$

Этап 2.4.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 (4 - 4)}$

Этап 2.4.4

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 \cdot 0}$

Этап 2.4.5

Умножим $8$ на $0$ .

$f (4) = \sqrt{0}$

Этап 2.4.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (4) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (4) = 0$

Этап 2.4.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3

Конечные точки: $(- 4, 0), (4, 0)$ .

$(- 4, 0), (4, 0)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $- 3$ в $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . В данном случае получится точка $(- 3, \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$f (- 3) = \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4 - (- 3)$ на $1$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 - (- 3)}$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 + 3}$

Этап 4.1.2.5

Добавим $4$ и $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{7}$

Этап 4.1.2.6

Окончательный ответ: $\sqrt{7}$ .

$y = \sqrt{7}$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . В данном случае получится точка $(- 2, 2 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

Этап 4.2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 + 2)}$

Этап 4.2.2.4

Добавим $4$ и $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 \cdot 6}$

Этап 4.2.2.5

Умножим $2$ на $6$ .

$f (- 2) = \sqrt{12}$

Этап 4.2.2.6

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f (- 2) = \sqrt{4 (3)}$

Этап 4.2.2.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Этап 4.2.2.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 2) = 2 \sqrt{3}$

Этап 4.2.2.8

Окончательный ответ: $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3}$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . В данном случае получится точка $(- 1, \sqrt{15})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 + 1)}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $4$ и $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 \cdot 5}$

Этап 4.3.2.5

Умножим $3$ на $5$ .

$f (- 1) = \sqrt{15}$

Этап 4.3.2.6

Окончательный ответ: $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Этап 4.4

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . В данном случае получится точка $(0, 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Избавимся от скобок.

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Этап 4.4.2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 (4 - (0))}$

Этап 4.4.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 (4 + 0)}$

Этап 4.4.2.4

Добавим $4$ и $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 \cdot 4}$

Этап 4.4.2.5

Умножим $4$ на $4$ .

$f (0) = \sqrt{16}$

Этап 4.4.2.6

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{4^{2}}$

Этап 4.4.2.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = 4$

Этап 4.4.2.8

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 4.5

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . В данном случае получится точка $(1, \sqrt{15})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Этап 4.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Этап 4.5.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

Этап 4.5.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

Этап 4.5.2.4

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

Этап 4.5.2.5

Умножим $5$ на $3$ .

$f (1) = \sqrt{15}$

Этап 4.5.2.6

Окончательный ответ: $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Этап 4.6

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . В данном случае получится точка $(2, 2 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Этап 4.6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Этап 4.6.2.2

Добавим $4$ и $2$ .

$f (2) = \sqrt{6 (4 - (2))}$

Этап 4.6.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{6 (4 - 2)}$

Этап 4.6.2.4

Вычтем $2$ из $4$ .

$f (2) = \sqrt{6 \cdot 2}$

Этап 4.6.2.5

Умножим $6$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{12}$

Этап 4.6.2.6

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f (2) = \sqrt{4 (3)}$

Этап 4.6.2.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Этап 4.6.2.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (2) = 2 \sqrt{3}$

Этап 4.6.2.8

Окончательный ответ: $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3}$

Этап 4.7

Подставим значение $x$ $3$ в $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . В данном случае получится точка $(3, \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Этап 4.7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Избавимся от скобок.

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Этап 4.7.2.2

Добавим $4$ и $3$ .

$f (3) = \sqrt{7 (4 - (3))}$

Этап 4.7.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (3) = \sqrt{7 (4 - 3)}$

Этап 4.7.2.4

Вычтем $3$ из $4$ .

$f (3) = \sqrt{7 \cdot 1}$

Этап 4.7.2.5

Умножим $7$ на $1$ .

$f (3) = \sqrt{7}$

Этап 4.7.2.6

Окончательный ответ: $\sqrt{7}$ .

$y = \sqrt{7}$

Этап 4.8

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, 2.65), (- 2, 3.46), (- 1, 3.87), (0, 4), (1, 3.87), (2, 3.46), (3, 2.65)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & 2.65 \\ - 2 & 3.46 \\ - 1 & 3.87 \\ 0 & 4 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 3.46 \\ 3 & 2.65 \\ 4 & 0 \end{array}$

Этап 5