Основы мат. анализа Примеры

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Этап 1

Упростим $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$x - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Этап 1.2

Перепишем ${(y - 1)}^{2}$ в виде $(y - 1) (y - 1)$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot ((y - 1) (y - 1))$

Этап 1.3

Развернем $(y - 1) (y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y (y - 1) - 1 (y - 1))$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1))$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.4.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.4.1.4

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y + 1)$

Этап 1.4.2

Вычтем $y$ из $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 2 y + 1)$

Этап 1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 4 = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 1.6.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2}$

Этап 2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4$

Этап 2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 4 \cdot 2}{2}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 8}{2}$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ и $8$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$

Этап 3

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Составим полный квадрат для $\frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = \frac{9}{2}$

Этап 3.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 3.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Этап 3.1.1.3.2.2

Разделим $2$ на $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 3.1.1.3.2.3

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 3.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 3.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 3.1.1.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 3.1.1.4.2.1.3

Разделим $4$ на $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.1.1.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{9 - 1}{2}$

Этап 3.1.1.4.2.3

Вычтем $1$ из $9$ .

$e = \frac{8}{2}$

Этап 3.1.1.4.2.4

Разделим $8$ на $2$ .

$e = 4$

Этап 3.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$

Этап 3.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2} + 4$

Этап 3.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = 1$

Этап 3.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 3.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(4, 1)$

Этап 3.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 3.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 3.5.3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 3.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 3.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{9}{2}, 1)$

Этап 3.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 1$

Этап 3.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 3.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = \frac{7}{2}$

Этап 3.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(4, 1)$

Фокус: $(\frac{9}{2}, 1)$

Ось симметрии: $y = 1$

Директриса: $x = \frac{7}{2}$

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(4, 1)$

Фокус: $(\frac{9}{2}, 1)$

Ось симметрии: $y = 1$

Директриса: $x = \frac{7}{2}$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $5$ в $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . В данном случае получится точка $(5, 2.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вычтем $4$ из $5$ .

$f (5) = \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (5) = \sqrt{2} + 1$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{2} + 1$ .

$y = \sqrt{2} + 1$

Этап 4.1.3

Преобразуем $\sqrt{2} + 1$ в десятичное представление.

$= 2.41421356$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $5$ в $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . В данном случае получится точка $(5, - 0.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = - \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Вычтем $4$ из $5$ .

$f (5) = - \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (5) = - \sqrt{2} + 1$

Этап 4.2.2.2

Окончательный ответ: $- \sqrt{2} + 1$ .

$y = - \sqrt{2} + 1$

Этап 4.2.3

Преобразуем $- \sqrt{2} + 1$ в десятичное представление.

$= - 0.41421356$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $6$ в $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . В данном случае получится точка $(6, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вычтем $4$ из $6$ .

$f (6) = \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (6) = \sqrt{4} + 1$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (6) = \sqrt{2^{2}} + 1$

Этап 4.3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (6) = 2 + 1$

Этап 4.3.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f (6) = 3$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 4.3.3

Преобразуем $3$ в десятичное представление.

$= 3$

Этап 4.4

Подставим значение $x$ $6$ в $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . В данном случае получится точка $(6, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Вычтем $4$ из $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (6) = - \sqrt{4} + 1$

Этап 4.4.2.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (6) = - \sqrt{2^{2}} + 1$

Этап 4.4.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (6) = - 1 \cdot 2 + 1$

Этап 4.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (6) = - 2 + 1$

Этап 4.4.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f (6) = - 1$

Этап 4.4.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 4.4.3

Преобразуем $- 1$ в десятичное представление.

$= - 1$

Этап 4.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Этап 5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(4, 1)$

Фокус: $(\frac{9}{2}, 1)$

Ось симметрии: $y = 1$

Директриса: $x = \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Этап 6