Основы мат. анализа Примеры

$y = - 3 \cos (π - x) - 2$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - 3$

$b = - 1$

$c = - π$

$d = - 2$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $3$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $- 3 \cos (π - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $- 1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

Этап 3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.1.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2

Найдем период $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $- 1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

Этап 3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$2 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- π}{- 1}$

Этап 4.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{1}$

Этап 4.4

Разделим $π$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $π$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $3$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $π$ ( $π$ вправо)

Смещение по вертикали: $- 2$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = - 3 \cos (- (π) + π) - 2$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Добавим $- π$ и $π$ .

$f (π) = - 3 \cos (0) - 2$

Этап 6.1.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = - 3 \cdot 1 - 2$

Этап 6.1.2.1.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (π) = - 3 - 2$

Этап 6.1.2.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f (π) = - 5$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- (\frac{3 π}{2}) + π) - 2$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{3 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 2$

Этап 6.2.2.1.2

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{3 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 2$

Этап 6.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π + π \cdot 2}{2}) - 2$

Этап 6.2.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π + 2 \cdot π}{2}) - 2$

Этап 6.2.2.1.4.2

Добавим $- 3 π$ и $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- π}{2}) - 2$

Этап 6.2.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{π}{2}) - 2$

Этап 6.2.2.1.6

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{2}) - 2$

Этап 6.2.2.1.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Этап 6.2.2.1.8

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cdot 0 - 2$

Этап 6.2.2.1.9

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0 - 2$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = - 3 \cos (- (2 π) + π) - 2$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (2 π) = - 3 \cos (- 2 π + π) - 2$

Этап 6.3.2.1.2

Добавим $- 2 π$ и $π$ .

$f (2 π) = - 3 \cos (- π) - 2$

Этап 6.3.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (2 π) = - 3 (- \cos (0)) - 2$

Этап 6.3.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2 π) = - 3 (- 1 \cdot 1) - 2$

Этап 6.3.2.1.5

Умножим $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (2 π) = - 3 \cdot - 1 - 2$

Этап 6.3.2.1.5.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (2 π) = 3 - 2$

Этап 6.3.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (2 π) = 1$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- (\frac{5 π}{2}) + π) - 2$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 2$

Этап 6.4.2.1.2

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 2$

Этап 6.4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 5 π + π \cdot 2}{2}) - 2$

Этап 6.4.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 5 π + 2 \cdot π}{2}) - 2$

Этап 6.4.2.1.4.2

Добавим $- 5 π$ и $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π}{2}) - 2$

Этап 6.4.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{(3) π}{2}) - 2$

Этап 6.4.2.1.6

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Этап 6.4.2.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cdot 0 - 2$

Этап 6.4.2.1.8

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 0 - 2$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 2$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3 π$ .

$f (3 π) = - 3 \cos (- (3 π) + π) - 2$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (3 π) = - 3 \cos (- 3 π + π) - 2$

Этап 6.5.2.1.2

Добавим $- 3 π$ и $π$ .

$f (3 π) = - 3 \cos (- 2 π) - 2$

Этап 6.5.2.1.3

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (3 π) = - 3 \cos (0) - 2$

Этап 6.5.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (3 π) = - 3 \cdot 1 - 2$

Этап 6.5.2.1.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (3 π) = - 3 - 2$

Этап 6.5.2.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f (3 π) = - 5$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & - 5 \\ \frac{3 π}{2} & - 2 \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & - 2 \\ 3 π & - 5 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $3$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $π$ ( $π$ вправо)

Смещение по вертикали: $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & - 5 \\ \frac{3 π}{2} & - 2 \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & - 2 \\ 3 π & - 5 \end{array}$

Этап 8