Основы мат. анализа Примеры

$y = \sec (3 x)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \sec (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ для $y = s e c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \sec (3 x)$ . Положив аргумент секанса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \sec (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \sec (3 x)$ .

$3 x = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 1.3

Выражение внутри секанса $3 x$ приравняем $\frac{3 π}{2}$ .

$3 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 1.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 1.4.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 1.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 1.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 1.5

Основной период $y = \sec (3 x)$ находится на промежутке $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ , где $- \frac{π}{6}$ и $\frac{π}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{π}{6}, \frac{π}{2})$

Этап 1.6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \sec (3 x)$ находятся в $- \frac{π}{6}$ , $\frac{π}{2}$ и в каждой точке $\frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$

Этап 1.8

У секанса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \sec (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = 3$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $s e c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $\sec (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{3}$

Этап 5.3

Разделим $0$ на $3$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 8