Основы мат. анализа Примеры

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Этап 1.1.2

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

Этап 1.1.3

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Этап 1.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Этап 1.1.4.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Этап 1.1.4.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

Этап 1.1.4.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

Этап 1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 5 = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Этап 1.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Этап 1.1.6.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Этап 1.1.6.2.3

Сократим общий множитель.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Этап 1.1.6.2.4

Перепишем это выражение.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- 3 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Этап 1.1.6.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{2} \cdot 9$

Этап 1.1.6.4

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 1.1.6.4.2

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9}{2}$

Этап 1.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2}$

Этап 1.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 5 \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $5$ на $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 10}{2}$

Этап 1.2.5.2

Добавим $- 9$ и $10$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{1}{2}$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Разделим $- 2$ на $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Этап 2.1.1.3.2.3

Разделим $3$ на $- 1$ .

$d = - 3$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 2}$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = \frac{1}{2} - - \frac{9}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.1.5

Умножим $- - \frac{9}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = \frac{1}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Этап 2.1.1.4.2.1.5.2

Умножим $\frac{9}{2}$ на $1$ .

$e = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{1 + 9}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.3

Добавим $1$ и $9$ .

$e = \frac{10}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.4

Разделим $10$ на $2$ .

$e = 5$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 5$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 5$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(3, 5)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Этап 2.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 2.5.3.3

Разделим $4$ на $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, \frac{9}{2})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 3$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{11}{2}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(3, 5)$

Фокус: $(3, \frac{9}{2})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{11}{2}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(3, 5)$

Фокус: $(3, \frac{9}{2})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{11}{2}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 3 (1) + \frac{1}{2}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- {(1)}^{2} + 1}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 + 1}{2}$

Этап 3.2.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{0}{2}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = 3 + \frac{0}{2}$

Этап 3.2.4.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (1) = 3 + 0$

Этап 3.2.5

Добавим $3$ и $0$ .

$f (1) = 3$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = 1$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 3 (2) + \frac{1}{2}$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- {(2)}^{2} + 1}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{2}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 4 + 1}{2}$

Этап 3.5.3

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f (2) = 6 + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.5.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (2) = 6 - \frac{3}{2}$

Этап 3.5.5

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 3.5.6

Объединим $6$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 3.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Этап 3.5.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1

Умножим $6$ на $2$ .

$f (2) = \frac{12 - 3}{2}$

Этап 3.5.8.2

Вычтем $3$ из $12$ .

$f (2) = \frac{9}{2}$

Этап 3.5.9

Окончательный ответ: $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = 2$ равно $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 3 (5) + \frac{1}{2}$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- {(5)}^{2} + 1}{2}$

Этап 3.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 1 \cdot 25 + 1}{2}$

Этап 3.8.2.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 25 + 1}{2}$

Этап 3.8.3

Добавим $- 25$ и $1$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 24}{2}$

Этап 3.8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Умножим $3$ на $5$ .

$f (5) = 15 + \frac{- 24}{2}$

Этап 3.8.4.2

Разделим $- 24$ на $2$ .

$f (5) = 15 - 12$

Этап 3.8.5

Вычтем $12$ из $15$ .

$f (5) = 3$

Этап 3.8.6

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 5$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{2} + 3 (4) + \frac{1}{2}$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- {(4)}^{2} + 1}{2}$

Этап 3.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 1 \cdot 16 + 1}{2}$

Этап 3.11.2.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 16 + 1}{2}$

Этап 3.11.3

Добавим $- 16$ и $1$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 15}{2}$

Этап 3.11.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f (4) = 12 + \frac{- 15}{2}$

Этап 3.11.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (4) = 12 - \frac{15}{2}$

Этап 3.11.5

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Этап 3.11.6

Объединим $12$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Этап 3.11.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4) = \frac{12 \cdot 2 - 15}{2}$

Этап 3.11.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.8.1

Умножим $12$ на $2$ .

$f (4) = \frac{24 - 15}{2}$

Этап 3.11.8.2

Вычтем $15$ из $24$ .

$f (4) = \frac{9}{2}$

Этап 3.11.9

Окончательный ответ: $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 4$ равно $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(3, 5)$

Фокус: $(3, \frac{9}{2})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{11}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Этап 5