Основы мат. анализа Примеры

$y = \tan (2 x + \frac{π}{4})$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \tan (2 x + \frac{π}{4})$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \tan (2 x + \frac{π}{4})$ .

$2 x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.1.2

Чтобы записать $- \frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = - \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{- π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 1.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x = \frac{- 2 π - π}{4}$

Этап 1.2.1.5.2

Вычтем $π$ из $- 2 π$ .

$2 x = \frac{- 3 π}{4}$

Этап 1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x = - \frac{3 π}{4}$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 x = - \frac{3 π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{3 π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.2.3.2

Умножим $- \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$x = - \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.2.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = - \frac{3 π}{8}$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $2 x + \frac{π}{4}$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.4.1.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.4.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 1.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Этап 1.4.1.5.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.4.2.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 1.5

Основной период $y = \tan (2 x + \frac{π}{4})$ находится на промежутке $(- \frac{3 π}{8}, \frac{π}{8})$ , где $- \frac{3 π}{8}$ и $\frac{π}{8}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{3 π}{8}, \frac{π}{8})$

Этап 1.6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \tan (2 x + \frac{π}{4})$ находятся в точках $- \frac{3 π}{8}$ , $\frac{π}{8}$ и в каждой точке $x = - \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ ― целое число.

$x = - \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$

Этап 1.8

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \tan (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = 2$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $t a n$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $\tan (2 x + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.4

Умножим $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{4}$ .

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{8}$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{8}$ ( $\frac{π}{8}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{8}$ ( $\frac{π}{8}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

Этап 8