Основы мат. анализа Примеры

$\cos (3 x) = \sin (3 x)$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 2

Сократим общий множитель $\cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 2.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 3

Переведем $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ в $\tan (3 x)$ .

$1 = \tan (3 x)$

Этап 4

Перепишем уравнение в виде $\tan (3 x) = 1$ .

$\tan (3 x) = 1$

Этап 5

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$3 x = \arctan (1)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Этап 7

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Этап 7.3.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 8

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 9.1.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 9.1.4

Добавим $π \cdot 4$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 9.1.4.2

Добавим $4 \cdot π$ и $π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Этап 9.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 9.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Этап 9.2.3.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 10

Найдем период $\tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 11

Период функции $\tan (3 x)$ равен $\frac{π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 12

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$