Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 5 \tan (\frac{1}{4} x + \frac{π}{4}) - 2$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ .

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.1.2

Чтобы записать $- \frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{4} = \frac{- π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 1.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x}{4} = \frac{- 2 π - π}{4}$

Этап 1.2.1.5.2

Вычтем $π$ из $- 2 π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{- 3 π}{4}$

Этап 1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x}{4} = - \frac{3 π}{4}$

Этап 1.2.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = - 3 π$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $\frac{x}{4} + \frac{π}{4}$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.4.1.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.4.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 1.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Этап 1.4.1.5.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 1.4.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = π$

Этап 1.5

Основной период $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ находится на промежутке $(- 3 π, π)$ , где $- 3 π$ и $π$ являются вертикальными асимптотами.

$(- 3 π, π)$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$\frac{1}{4}$ приблизительно равно $0.25$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Этап 1.6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 4$

Этап 1.6.3

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$4 π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ находятся в точках $- 3 π$ , $π$ и в каждой точке $x = - 3 π + 4 π n$ , где $n$ ― целое число.

$x = - 3 π + 4 π n$

Этап 1.8

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - 3 π + 4 π n$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - 3 π + 4 π n$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \tan (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 5$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

Этап 3

Поскольку график функции $t a n$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{4}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Этап 4.1.3

$\frac{1}{4}$ приблизительно равно $0.25$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Этап 4.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 4$

Этап 4.1.5

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$4 π$

Этап 4.2

Найдем период $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{4}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Этап 4.2.3

$\frac{1}{4}$ приблизительно равно $0.25$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Этап 4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 4$

Этап 4.2.5

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$4 π$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$4 π$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4} \cdot 4$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{4}$ в числитель.

Сдвиг фазы: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $- π$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $4 π$

Сдвиг фазы: $- π$ ( $π$ влево)

Смещение по вертикали: $- 2$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = - 3 π + 4 π n$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $4 π$

Сдвиг фазы: $- π$ ( $π$ влево)

Смещение по вертикали: $- 2$

Этап 8